ECUACIONES CARTESIANAS

Ecuación cartesiana de la esfera
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

Estaecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

Laecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

Ecuación cartesiana de laelipsoide

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respectode los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata deuna esfera.


Ecuación Cartesiana hiperboloide de una y dos hojas

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas , cuyos ejes son los desimetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

es decir
.
Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

la ecuación inicial se escribe también xy = 1,es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego: 
Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la mismaforma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decircon un signo «-»:

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una de...