ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
 

 
Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente. De manera que el propósito será un repaso de las mismas.
 
Definición: Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuaciónlineal en dos variables de forma general.
Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9.
 
Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes. De manera que:
y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5
y = -2x en la forma general es 2x + y = 0
 
Elconjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta. Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1) y (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12? La respuesta a esta pregunta la podemos hallar sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada. Veamos:
 
1) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5= 10. Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
 
2) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12. Por tanto, el par odenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
 
 
Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables
 
Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas. Una forma de construir gráfica de líneas recta es a travésde interceptos.
 
La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x. Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero. El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).
 
La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y. Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero. Elintercepto en y se expresa de la forma (0, y).
 
Ejemplos para discusión en clase: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.
 
1) x - y = 3
2) 2x + 3y = 6
 
Ejercicio de práctica: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:
 
1) 3x + 5y = 15
2) 3x - 4y = 12
 
Pendiente de una recta
 
Es el grado (medida)de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
 
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

 
Ejemplo para discusión en clase: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
 
1) (-3,4) y (6, -2)
2) (-3, -4) y (3, 2)
3) (-4, 2) y ( 3, 2)4) (2, 4) y (2, -3)
 
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
 
Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical
 
Ejercicio de práctica: Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
 
1) (-3 , -3) y (2, -3)
2) (0, 4) y(2, -4)
3) (-2, -1) y (1, 2)
4) (-3, 2) y (-3, -1)
 
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
 
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.
 
Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en yes (0, 5).
 
La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto. Pero lo podemos hacer cmabiando términos de posición, esto es, y = -x + 2. Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).
 
Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen. Por ejemplo, y = 3x representa la ecuación de una recta ascendente que pasa por...