ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuación lineal con n incógnitas
Es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b
.
Los valores ai se denominan coeficientes, b es el término independiente y los valores xi son
las incógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que sustituidos en las correspondientes
incógnitas hacen quese verifique la ecuación se denomina solución de la ecuación.
Ej: Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones equivalentes
Son aquellas que tienen la misma solución.
Sistemas de ecuaciones lineales
Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:
a11x1 + a12x2 + .....................+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +.....................+a2nxn = b2
...............................................................
am1x1 + am2x2 + .....................+amnxn = bm
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xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).
bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m)
m, n
;
m > n, ó, m = n, ó, m < n.

(el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al deincógnitas)
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aij y b i
.
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x,
y, z, t, ...
Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema
Es el conjunto de valores que satisface a todas y cada una de las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones equivalentes
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son aquellos que tienen lamisma solución,
(aunque tengan distinto número de ecuaciones).
1

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se lessuma o se les resta una
misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema
por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo
sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituyeuna ecuación por otra que resulte de sumarle
varias ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no
nulos (combinación lineal de ecuaciones) , resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las
incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Obtenemos un sistema equivalente por transformación deecuaciones dependientes.
si:
Todos los coeficientes de una ecuación son ceros.
Dos filas (ecuaciones) son iguales.
Una fila (ecuación) es proporcional a otra.
Una fila (ecuación) es combinación lineal de otras filas (ecuaciones).

Clasificación de sistemas de ecuaciones
Atendiendo al número de sus soluciones
Incompatible: No tiene solución.
Compatible: Tiene solución. A su vez puede ser:Compatible determinado: Solución única.
Compatible indeterminado: Infinitas soluciones.
Sistemas de ecuaciones escalonados
Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
x+y+ z= 3
y+2z=-1
z=-1
2

Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z=-1.
Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.
Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x=3.
También es un sistema escalonado:
x+y+z=4
y+ z= 2
Cuando hay más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por
ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro transformándola en parámetro.
x+y+ z=3
y=2-z
Consideraremos z= λ, siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.
x+y+ z=3
y=2-λ
La solución será:
x= 2 y = 2-λ

z= λ

Método de Gauss
El método...