Ecuaciones no lineales

Ecuaciones no lineales
Dami´n Ginestar Peir´
a
o
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Universidad Polit´cnica de Valencia
e

Curso 2011-2012

(UPV)

Ecuaciones no lineales

Curso 2011-2012

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´
Indice
1

Ecuaciones no lineales
M´todo de la bisecci´n
e
o
M´todo del punto fijo
e
M´todo del punto fijo
e
M´todo de Newton
e
M´todo de la secante
e

2Resoluci´n num´rica de sistemas de ecuaciones
o
e
M´todo iterativo del punto fijo
e
M´todo de Newton-Raphson
e
M´todo de Broyden
e
M´todos de continuaci´n
e
o

3

M´todos con direcci´n de b´squeda
e
o
u

4

M´todos de Newton inexactos
e
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Ecuaciones no lineales

Los m´todos para la b´squeda de ra´ de una funci´ngeneralmente
e
u
ıces
o
se clasifican en
M´todos cerrados. Se parte de un intervalo en el que se sabe que hay al
e
menos una ra´ y convergen siempre. M´todo de la Bisecci´n.
ız
e
o
M´todos abiertos. Se parte de una aproximaci´n inicial y tienen un
e
o
cierto radio de convergencia. M´todo del punto fijo, M´todo de
e
e
Newton, M´todo de la secante.
e

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M´todo de la bisecci´n
e
o
Supongamos, por ejemplo, que se quiere calcular una soluci´n de la
o
ecuaci´n
o
x2 = 2 ,
sabiendo que la soluci´n est´ en un intervalo [a, b] = [1, 2].
o
a
Probamos con un punto c que sea el punto medio del intervalo
a+b
,
c=
2
calculamos c 2 = (1,5)2 = 2,25. Como c 2 > 2, entonces tendremos que la
ra´ estar´ en un nuevointervalo [a , b ] = [a, c].
ız
a
Repitiendo esta estrategia se van obteniendo intervalos cada vez m´s
a
peque˜os que contienen la ra´ buscada.
n
ız
M´thode de la (a)
e
f bisection
f (a)

a

z

b

c

a

b
f (c)

f (b)

Recherche le z´ro d’une fonction dans un intervalle [a, b] donn´.
e
e
On consid`re un intervalle qui contient le z´ro, on le divise en deux et oncherche le demi-intervalle qui contient
e
e

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M´todo de la bisecci´n
e
o
M=2;
a=1;
b=2;
k=0;
tol=1.0e-5;
while (b-a) >tol
x=(a+b)/2;
if x^2>M
b=x;
else
a=x;
end
k=k+1;
end
sol=(a+b)/2
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M´todo de la bisecci´n
e
o

Bisecci´n
o
Se parte de una intervalo[an , bn ] tal que f (an ) f (bn ) < 0. Entonces f (x)
tiene una ra´ en el intervalo. Se construye un intervalo [an+1 , bn+1 ] que
ız
tambi´n la contiene del siguiente modo. Se calcula
e
pn = an +

bn − an
,
2

y luego
an+1 = an y bn+1 = pn si f (an ) f (pn ) < 0 ,
o bien
an+1 = pn y bn+1 = bn si f (an ) f (pn ) > 0 ,

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6 / 39M´todo del punto fijo
e
Punto fijo
Diremos que un punto p es un punto fijo de una funci´n ϕ(x) si se
o
satisface ϕ(p) = p.
Supongamos que se busca una ra´ de una ecuaci´n
ız
o
f (x) = 0 ,
el m´todo del punto fijo consiste en reescribir esta ecuaci´n de la forma
e
o
x = ϕ(x) ,
y construir una sucesi´n de la forma
o
x1 = ϕ(x0 )
x2 = ϕ(x1 )
.
.
.
xn+1 = ϕ(xn )
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Application de la m´thode du point fixe
e

(cont’d)

M´todo del punto fijo
e

Soit h(x) = x − 2 x4/5 + 2 = 0 et les 2 fonctions d’it´ration
e
g1 (x) = 2x4/5 − 2

g2 (x) =

x+2
2

5/4

Dada la ecuaci´n - 2*x.^(4/5) + 2’);
o
h = inline(’x
bracketing(h,0,50,30)
f (x) g2 = inline(’((x+2)/2).^(5/4)’);= 0
= x − x 4/5 − 2
ans =FPI(g2,18.5)
3.3333
18.3333

5.0000
20.0000

ans =

19.7603
si tomamos la= funci´n de- 2’); FPI(g2,3,5)
o
iteraci´n
o
g1
inline(’2*x.^(4/5)

??? Error using ==> fpi
Maxit in FPI

FPI(g1,18.5)
ans =
19.7603

g (x) = x 4/5 + 2

NOS (4311010) – M. Gilli

Spring 2008 – 88

Convergence de la m´thode de point fixe (illustrations)
e
Las iteraciones

Soit f (x) = x − x4/5 − 2 =...