Ecuaciones y sistemas

Ecuaciones y sistemas
1-En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parteexcede en una unidad al número de cadetes y por otra, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de atletas que hay en cada categoría.
Solución
Llamamos: x al número deatletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al número de atletas juveniles
Se verifica 
 
 x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, y =6
 
Nota. También lo podríamos resolver aplicando el métodode Gauss
Se trata de conseguir una matriz escalonada de más fácil resolución ..
La matriz es ....
 

 
Comprobar el resultado.
2. Encuentra los valores de a para que la siguiente matriz, A,  no seainversible y halla la inversa para a =1 
Solución
Para que no sea inversible el determinante debe dar 0.
7a-21=0 a =3
 
 
Calculamos la inversa para a =1, si a =1 el valor del determinante es -14.
Secalcula la adjunta de A,  Adj A = , se traspone, (Adj A)’ =y por último dividimos por el determinante de A, 
 
Comprobar el resultado multiplicando A por su inversa, A-1,( A.A-1 =I).
3. Calcula lamatriz X tal que  XA-2B =C,  donde ,  y 
Solución
XA-2B =C XA =2B+ C  XA == ;             X=
 de donde X ==* 
 
*la inversa comprueba que es A-1=, por el método que prefieras.
4. Discute y resuelve elsistema en los casos posibles

 
Solución
Como el parámetro k solo está en una ecuación y en la z, el método de Gauss en este caso nos parece el más conveniente.
Cambiamos el orden de las ecuaciones paramás sencillez
                                
 
                , q ya es escalonado: 
 
 
Discusión
Si k-2 distinto de cero, es decir si k distinto de 2, el sistema es compatible determinado(solución única)
Si k-2=0, es decir k =2, quedaría 0z=2, y el sistema sería incompatible.
Resolvemos para k distinto de 2: de aquí ,
 
 
Resolviendo de abajo a arriba,
 

 
y =-3-=
 

 
(Comprobar los...