ECUACIÓN DE BERNOULLI

ECUACIÓN DE BERNOULLI
y
APLICACIONES

Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis

SUMA DE BERNOULLI

B=h+

v2
2g

+

p
γ

Daniel Bernoulli (1700 – 1782)

1

B=

v2
2g

+

p
+h
γ

COTA PIEZOMÉTRICA:

ˆ
p p
= +h
γ γ

ALTURA DE
VELOCIDAD
ALTURA DE
PRESIÓN
COTA

COTA PIEZOMÉTRICA

EL BERNOULLI Y LA COTA PIEZOMÉTRICA TIENEN
DIMENSIONES DE LONGITUD

SUMA DEBERNOULLI

B=h+

v2
2g

+

p
γ

B
2
v1
2g

2
v1
2g

p
γ
D1

p
γ

v1

v2
2
2g

p
γ

v2

h

D2

h
h

NIVEL DE REFERENCIA

2

ECUACIÓN (o PRINCIPIO) DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli
(2)

(1)

v2
p2

h1 +

2
v1 p1
v2 p
+
= h2 + 2 + 2
2g γ
2g γ

junto a la
continuidad

ecuación

de

v1 A 1 = v 2 A 2

p1
v1

h2

h1NIVEL DE REFERENCIA

son fundamentales
para la
resolución de los problemas de
la Dinámica de los Fluidos

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

Principio de Torricelli:
“La velocidad con la que sale un
líquido por el orificio de un recipiente
es igual a la que adquiriría un cuerpo
que se dejara caer libremente desde
la superficie libre del líquido hasta el
nivel del orificio”.

3APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
Apliquemos la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2)
considerando que el nivel del líquido (H) permanece constante.
(1)

B1 = B2

•

h1 +

2
1

v
p
v2 p
+ 1 = h2 + 2 + 2
2g γ
2g γ

En el punto (1): h1 = H, p1 = patm (o p1 = 0 si trabajamos con
presiones relativas). Como el nivel se mantiene constante: v1 = 0.
H

•
(2)En el punto (2): h2 = h, p2 = patm (o p2 = 0 si trabajamos con con
presiones relativas).

p atm
v2 p
= h + 2 + atm
γ
γ
2g

H+0+

h

De donde despejamos la velocidad de salida:

v 2 = 2g(H − h )

NIVEL DE REFERENCIA

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
p1

D1

V1

(1)

p3
p2
D2

V2

(2)

D3

V3

(3)Continuidad: El caudal es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
Conservación de la energía: El Bernoulli es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)

4

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
p1

Continuidad:
Q1 = Q2 = Q3 = Q

v1 =

Q
,
A1

v2 =

D1

Q
A2

p3
p2
D2

V1

(1)

V2

D3

V3

(2)

(3)

Q
v3 =
A3Como D2 < D1 < D3 , se tiene que A2 < A1 < A3 , resultando que V2 > V1 > V3

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
p1

Conservación de la energía:
B1 = B2 = B3 = B

v2 p
B1 = h 1 + 1 + 1
2g γ
B2 = h 2 +

v2 p2
2
+
2g γ

B3 = h 3 +

D1

V1

(1)

p3
p2
D2

V2

D3

V3

(2)

(3)

2
v3 p3
+
2g γ

Consideremos quela tubería es horizontal y que el nivel de referencia está
en el eje de la tubería. Esto significa que h1 = h2 = h3 = 0 y las ecuaciones
de Bernoulli se reducen a:

5

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

B1 =

v
p
+ 1
2g γ

v2 p
B2 = 2 + 2
2g γ
B3 =

p1

2
1

2
v3 p3
+
2g γ

D1

V1

(1)

p3
p2
D2

V2

D3V3

(2)

(3)

Como B1 = B2 = B3 = B , tenemos que la presión en cada sección es igual a:


v2 
p1 = γ  B − 1  ,

2g 




v2 
p 2 = γ B − 2  ,

2g 




v2 
p 3 = γ B − 3 

2g 



O sea, en las secciones de menor diámetro, el área es menor, la velocidad
es mayor y la presión es menor.

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNATUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

La presión es menor en
las secciones de mayor
velocidad

6

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
TUBO DE VENTURI
o VENTURÍMETRO:
Venturi tuvo la idea de medir las presiones en la
sección de mayor área y en la de menor área para
determinar el caudal que escurre por la tubería.

B1 = B 2
2
1

v
p
v2 p
+ 1 = 2 + 2
2g γ 2g γ
2
v 2 v 1 p1...