Ecuauciones

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Sistema de ecuaciones lineales
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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema deecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .

El problema consiste enencontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemasno lineales de análisis numérico.
Contenido

1 Introducción
2 Sistemas lineales reales
2.1 Representación gráfica
2.2 Tipos de sistemas
2.2.1 Sistemas compatibles indeterminados
2.2.2 Sistemas incompatibles
2.3 Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
2.3.1 Sustitución
2.3.2 Igualación2.3.3 Reducción
2.3.4 Método gráfico
2.3.5 Método de Gauss
2.3.6 Regla de Cramer
2.3.7 Algoritmos numéricos
3 Solución de sistemas lineales en un anillo
4 Véase también
5 Enlaces externos

Introducción

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}

Donde x_1,\dots,x_n\, son las incógnitas y los números a_{ij}\in\mathbb{K} son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo \mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]. Esposible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1) \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Sirepresentamos cada matriz con una única letra obtenemos:

\mathbf{Ax} = \mathbf{b}

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan laspropiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo \R, es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.
Representación gráfica
La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con n\, incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo denuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que...