Ed En Ing Quimica

335

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. Considere un recipiente lleno deagua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de agua del tanque en ese instante. La velocidad vdel agua que sale a través del orificio es:

v =

2 gh

(1)

donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá v = c 2 gh (2) donde c es el coeficientede descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1). OBSERVACIÓN Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1 Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es
dV  av dtsustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3) dV =  a c 2 gh dt

(3)

(4)

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene V=


0

h

A(h) dh

derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo

336
dV dh  A(h) dt dt

(5)

Comparando lasecuaciones (3) y (5)
A(h) dh =  ac dt 2 gh

(6)

Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es dh A(h) =  a c 2 gh dt Esta es unaecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo. Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es dh A(h) = Q  a c 2 gh dt

UNIDADES Y NOTACIONES Elemeto Altura Volumen Tiempo GravedadÁrea del orificio de salida Área de la sección Transversal Coef. de descarga Notación h (t) cm V (t) cm3 t seg g 981 cm/seg2 a cm2 A(h) c cm2 Sin Unidades mt mt3 seg 9,81 mt/seg2 cm2 cm2 Unidades pies pies3 seg 32 pies/seg2 pies2 pies2

337

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
1. Un cilindro rectocircular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque? SOLUCIÓN:
10 pies

La ecuación diferencial asociada a los problemas de Vaciado de tanques es A(h) dh = – a c 2 g h dt (1) El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radioes 1/2 pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas 1 en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada = pies 12 y puesto que el área del orificio de salida es el área de

20 pies h

una circunferencia (  radio 2 ), resulta que el área “a” del orificio de salida es
  1  a=    = pie2 576  24 
2

Fig.1

El coeficiente de descarga “c” no está dado por lo tanto se asume...