EE07

Espacios Vectoriales Eucl´ıdeos

Antonia Gonz´alez G´omez
Dep. de Matem´aticas Aplicadas a los Recursos Naturales
ETSI de Montes
UPM

Espacios Vectoriales Eucl´ıdeos

Dep. Mat. Aplicada
E.T.S.I. de Montes

´Indice
1. Espacios Eucl´ıdeos: producto escalar, normas, distancia y ´
angulos.

2

2. Ortogonalidad. Bases ortonormales. Gram-Schmidt.

6

3. Proyecciones ortogonales.

11

4. AplicacionesLineales adjuntas y autoadjuntas entre Espacios Eucl´ıdeos. 17
5. Aplicaciones ortogonales

21

6. Aplicaciones ortogonales en R2

25

P´agina 1

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1.

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Espacios Eucl´ıdeos: producto escalar, normas, distancia y ´
angulos

Salvo que se diga lo contrario, a lo largo de este cap´ıtulo trabajaremos con espacios
vectoriales reales dedimensi´on finita.
Definicion 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo R, de dimensi´on n. Un producto
escalar sobre V es una forma bilineal sim´etrica definida positiva.
< ·, · > : V × V −→
R
u, v −→
< u, v >
Corolario 1.1. Sea < ·, · >: V × V −→ R un producto escalar. Entonces verifica las
siguientes propiedades:
< u, v >=< v, u >

∀ u, v ∈ V (simetr´ıa)

< u, αv + βw >= α < u, v > +β

∀ u, v, w ∈ V y ∀ α, β ∈ R (bilinealidad)

< u, u > > 0 ∀ u = 0 ∈ V (def. positiva)
Ejemplo 1.1. La forma bilineal
< ·, · >

: R2 × R2 −→
R
< (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) >−→ x1 y1 + x2 y2

verifica que es sim´etrica
< (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) >= x1 y1 + x2 y2 =< (y1 , y2 ), (x1 , x2 ) >
y definida positiva
< (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) >= x21 + x22 > 0 ∀ (x1 , x2 ) = (0, 0)
por tanto, es un productoescalar sobre R2 .
Ejemplo 1.2. La forma bilineal
< ·, · > : C([a,b])×C([a,b])−→
< f, g >−→

b
a

R
f (x) g(x) dx

verifica que es sim´etrica
b

< f, g >=

f (x) g(x) dx =< g, f >
a

y definida positiva

b

< f, f >=

f 2 (x) dx > 0 ∀ f = 0

a

por tanto, es un producto escalar sobre C([a, b]).
P´agina 2

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Ejercicio 1.1. Seana, b, c ∈ R con a > 0 y ac > b2 . Se define:
(x, y), (u, v) = x y ·

a b
u
·
b c
v

Probar que ·, · es un producto escalar en R2 .
Ejercicio 1.2. En el espacio vectorial M2 (R) de las matrices 2×2, se considera la siguiente
aplicaci´on:
< ·, · >: M2 (R) × M2 (R) →
R
< A, B >
→ < A, B >= traza(At · B)
Comprobar que la aplicaci´on anterior define un producto escalar en M2 (R)
Definicion 1.2. Unespacio vectorial eucl´ıdeo sobre R es un par (V, < ·, · >) donde V es un
R−espacio vectorial y < ·, · >: V × V −→ R es un producto escalar.
Ejemplo 1.3. El par (R3 , < ·, · > donde
matriz en la base can´onica es

2

A = −1
0

< ·, · >: R3 −→ R una forma bilineal cuya

−1 0
2 −1
−1 2

es un espacio eucl´ıdeo.
Ejercicio 1.3. Consideremos el espacio eucl´ıdeo (R3 , <, >) donde <, > denota elproducto
escalar usual de R3 . Sea T : R3 −→ R3 la aplicaci´on lineal que tiene por matriz asociada en
la base can´onica Bc la matriz:


1 a 0
a 2 c 
a, b, c ∈ R
b 0 3
Sea F : R3 × R3 −→ R definida por F (u, v) =< u, T (v) > Determina los valores de a, b, c
para que F sea un producto escalar en R3
Definicion 1.3. Sea (V, < ·, · >) un espacio vectorial eucl´ıdeo, se define la norma de v ∈ V
como
√
v =+ < v, v >.
Ejemplo 1.4. Consideramos en R el producto escalar < x, y >= xy. En este espacio
eucl´ıdeo tenemos que
√
√
x = < x, x > = x2 = |x|.
Ejemplo 1.5. Sea (R2 , < ·, · >) con < (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) >= x1 y1 + x2 y2 . Entonces
x =

√

< x, x > =

x21 + x22

P´agina 3

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Ejemplo 1.6. Sea (C ([a,b]), < ·, · >) con < f, g>=
f =

√

b
a

f (x) g(x) dx. Entonces

b

f 2 (x) dx

< x, x > =
a

Proposici´
on 1.1. Propiedades de la norma
1.- v ≥ 0 ∀ v ∈ V
2.- v = 0

⇐⇒ v = 0

3.- λv = |λ| · v

∀v ∈ V

4.- Desigualdad de Cauchy-Schwartz.| < v, w > | ≤ w · v

∀ v, w ∈ V

5.- Desigualdad Triangular.v+w ≤ w + v

∀ v, w ∈ V

Demostraci´
on. Como 0 ≤ < v + αw, v + αw > tenemos entonces que la ecuaci´on de segundo
grado en α...

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