Efecto Doppler

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Efecto Doppler
La frecuencia de una onda emitida por una fuente resulta diferente si dicha fuente está en reposo o en movimiento relativo al observador, aumenta cuando la fuente se acerca y disminuye cuando se aleja. 
El fenómeno fue descrito y explicado teóricamente en forma clásica (no relativista) por el físico y matemáticoaustríaco Christian Doppler (1803-1853) en el año 1842, en una monografía sobre espectroscopía en estrellas binarias.
La ley original obtenida relaciona la frecuencia de una onda luminosa con la velocidad relativa entre el observador y la fuente de las ondas, y no es consistente con la teoría de relatividad (desarrollada posteriormente) pues se fundamenta en las Transformaciones de Galileo. La formulaciónrelativista rigurosa del fenómeno fue elaborada por Einstein en su principal publicación de 1905.
El efecto es de naturaleza ondulatoria y su estudio aparentemente resulta complejo en virtud de que intervienen tres actores: la fuente de ondas, la onda que se propaga y el observador. Sin embargo, veremos que el fenómeno puede ser explicado como un efecto relativista sobre la propagación ondulatoria.
Porrazones prácticas, en general sólo nos interesará el punto de vista del observador, es decir la frecuencia que un observador inercial le mide a una onda emitida por una fuente móvil, y su relación con la frecuencia propia y velocidad instantánea de dicha fuente.
Los procesos ondulatorios fueron convenientemente explicados por el matemático francés D’Alembert (1717-1783), cuyos aportes en elplanteo y solución de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales le permitieron elaborar la teoría matemática de las ondas en 1747, estableciendo su famosa “ecuación de ondas”: 
  
Toda solución Ф(x,y,z,t) de esta ecuación es una onda cuya velocidad de propagación es v. Asimismo, si una función no satisface esta ecuación no puede ser asignada a un fenómeno ondulatorio. La solución más simpleposible, conocida como “onda armónica simple”, que se propaga en el sentido positivo de las x, corresponde a la expresión:
 
Al respecto, aunque en este curso se asume que el lector conoce la teoría de ondas, es conveniente recordar algunas particularidades:
* x (dirección de propagación) es un punto del espacio y t un instante de tiempo.
* Al argumento (kx-w t) se lo denomina fase y debe serun número adimensional, es decir sin unidades. 
En consecuencia, k (número de onda) tiene unidades de 1/longitud y w (frecuencia angular) de 1/tiempo.
* El sentido de propagación queda determinado por el signo de los 2 términos de la fase. Si son distintos la onda se propaga en el sentido creciente de x; si son iguales será en sentido opuesto.
* La función verifica la ecuación de ondassi se cumple v=w/k.
* A es la amplitud máxima de la onda. Sus unidades quedarán determinadas por el tipo de onda que se trate. Por ejemplo, si es una onda sonora, A podrá tener unidades de presión.
* En ambos sistemas inerciales la onda tiene la misma forma funcional pues la ecuación de ondas es relativista.
Se deja planteado demostrar que dicha ecuación conserva su forma anteTransformaciones de Lorentz.
Primero mostraremos que la frecuencia de una onda, cualquiera sea su naturaleza, es una magnitud relativa al sistema de referencia.
Supongamos tener dos observadores inerciales en movimiento relativo, como muestra la figura, que miden la frecuencia y la velocidad de una onda armónica simple que se propaga de izquierda a derecha en la dirección del eje x.

Aplicando lasTransformaciones de Lorentz podemos encontrar la correspondiente expresión en el sistema primado:

 
En el sistema en movimiento se cumple:  
Comparando con la relación anterior se obtiene:

Para evitar confusiones llamaremos vP a la velocidad de propagación. 
Reemplazando k = w / vP  obtenemos la relación buscada:

Si se trata de ondas luminosas en el vacío la velocidad de propagación es la...