efemerides


INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE









INGENIERIA INDUSTRIAL

TERCER SEMESTRE


MATEMÁTICAS III

ING. JULIO CÉSAR PECH SALAZAR


Subtema 3.2

Límites y continuidad








Material de apoyo

Clave de la asignatura: ACM-0405
UNIDAD
NOMBRE
TEMAS
3
Funciones vectorial de una variable real
3.2 Límites y continuidad.Límites.
Definimos
lid A( t ) =  tal que  =  xi +  yj +  zk
 x = lim Ax( t );  y = lim Ay( t );  z = lim Ax( t ) (4.45)

Continuidad.
A( t ) es continua en t0 cuando son continuas las funciones escalares:
Ax( t ), Ay( t ), y Az( t ) en t0.


LÍMITES Y CONTINUIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS

La definición de límite para funciones de varias variables es similar aaquélla para funciones de una variable, pero con la salvedad de que los entornos tomados alrededor del punto donde queremos encontrar el límite serán ahora discos o bolas, de acuerdo a la dimensión del espacio de las variables.
Mientras que en funciones de una variable hay sólo dos maneras de acercarnos a un punto del dominio —por derecha y por izquierda—, en funciones de varias variables hayinfinitos caminos para acercarse a un punto del plano de las variables. Para que exista un límite, el mismo debe ser igual para todos los posibles acercamientos.
Igual que en funciones de una variable, para que una función de varias variables sea continua en un punto debe estar definida en el mismo, debe tener límite en él y el valor de la función debe ser igual al del límite. Si una función escombinación de otras continuas, será también continua excepto en aquellos puntos donde no esté definida.


PROBLEMAS

1 Conjuntos abiertos. Mostrar que el siguiente conjunto del plano es abierto:



Solución

En el plano, un conjunto es abierto cuando dado un elemento (x; y) perteneciente al conjunto es posible trazar un disco alrededor de dicho punto tal que todos los elementos del discopertenecen al conjunto.
En el caso de nuestro problema, tenemos que cualquier punto (x0; y0) perteneciente al conjunto estará a una cierta distancia de cada uno de los cuatro bordes, no pudiendo estar exactamente sobre los mismos dado que las desigualdades son estrictas.
En esas condiciones, para seleccionar un  tal que todos los puntos en un disco de radio  pertenezcan al conjunto, bastatomar:

 < mín{( x0 + 1), (1 - x0), (y0 + 1), (1 - y0)}

Esto es,  debe ser menor que la menor distancia del punto a los bordes. De esa manera, tendremos que para cualquier punto (x; y) del disco se verificará:



Esto es, cualquier punto dentro del disco cumplirán las cuatro condiciones requeridas para que pertenezca al conjunto A. Por ende, el conjunto es abierto.
2 Cálculo delímites. Calcular los límites siguientes:

a)
b)

Solución

a) . Se trata en este caso de funciones continuas ambas, y su producto está definido en el punto indicado, por lo tanto el producto es continuo allí. Entonces el límite de la función es igual al valor de la función, o sea 1.

b) . Usamos la propiedad de que el límite de un producto es igual al producto de los límites.

3 Existenciae inexistencia de límites.
a) Usar la regla de l’Hôpital para calcular .
b) ¿Existe ?

Solución

a)

Usamos la regla de l’Hôpital tres veces sucesivas, dado que se trataba de casos de “cero sobre cero”. La cuarta vez ya era un límite que se podía calcular, y así lo hicimos.

b) Examinaremos este límite doble acercándonos al origen a través de dos caminos: por el eje x y por el eje y.Por el eje x:

(Aprovechamos el resultado anterior).

Por el eje y:



Los límites a través de acercamientos diferentes son distintos, y por ende no existe el límite, de la misma manera que no existía en cálculo de funciones de una variable cuando el límite por izquierda daba distinto del límite por derecha.

4 Más cálculos de límites. Resolver los siguientes límites:

a)

b)...