ejemplos

MONOGRAFÍAS MATEMÁTICAS
UTFSM

ALGEBRA
LINEAL
Rubén A. Hidalgo

Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa María

Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL
Primera Versión
2005

RUBÉN A. HIDALGO
Departamento de Matemática,
UTFSM,
Valparaíso, Chile

ruben.hidalgo@usm.cl

Departamento de Matemática - UTFSM
Valparaíso, Chile

A Betty, Cata y Pucky

ÍndiceDedicatoria
.
Lista de Figuras
.
Introducción
.
Agradecimientos
.

v
xi
xiii
xv

1. CUERPOS
1.
Definición de cuerpo
2.
Ejemplos de cuerpos
2.1.
Cuerpo de los números racionales: Q
2.2.
Cuerpo de los números reales: R
2.3.
Cuerpo de los números complejos: C
2.4.
Cuerpo Zp , donde p ∈ N es primo
√
√
2.5.
Cuerpos cuadráticos: Q[ d] y Q[ −d]
2.6.
Cuerpos definidos porpolinomios
3.
Característica de un cuerpo

1
1
2
2
2
3
3

2. ALGEBRA MATRICIAL
1.
Matrices
2.
Suma de matrices
3.
Amplificación de matrices
4.
Multiplicación de matrices
5.
Transposición de matrices
6.
Matrices invertibles
7.
Problemas

5
5
5
6
7
8
9
9

3
4
4

3. SISTEMAS LINEALES
1.
Problemas

15
17

4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTEELIMINACIÓN DE GAUSS
1.
Sistemas lineales y matriciales
2.
Operaciones elementales
2.1.
Matrices de intercambio de filas Eij
λ
2.2.
Matrices de amplificación de filas Ej

25
25
26
26
26

2.3.

λ
Matrices de amplificación y suma de filas Eij

27

ALGEBRA LINEAL

viii

3.
4.
5.

2.4.
Procedimiento
Encontrando inversas
Métodos iterativos
Problemas

27
28
28
29

5. ESPACIOSVECTORIALES
1.
Espacios vectoriales
2.
Ejemplos de espacios vectoriales
2.1.
Kn
2.2.
M (p × q; K)
2.3.
Sucesiones
2.4.
C r ([a, b]; R)
2.5.
K[x]
2.6.
Subcuerpos
2.7.
Ecuaciones diferenciales
2.8.
Ecuaciones integrales
2.9.
Suma directa de espacios vectoriales
3.
Subespacios vectoriales
3.1.
Algunos ejemplos de subespacios vectoriales
3.2.
Problemas

31
31
32
3232
32
32
33
33
33
33
33
33
34
36

6. BASES
1.
Conjuntos linealmente independientes
2.
Bases
3.
Existencia de bases
4.
Dimensión
4.1.
Un proceso algorítmico para completar bases

37
37
38
39
41
43

7. COORDENADAS
1.
coordenadas
2.
Coordenadas y cambios de base
3.
Problemas

45
45
47
49

8. TRANSFORMACIONES LINEALES
1.
Transformaciones lineales
2.
Elespacio L(V, W )

51
51
57

9. UNA RELACIÓN ENTRE ESPACIOS VECTORIALES REALES Y COMPLEJOS
1.
Estructuras complejas
2.
Complexificación de espacios vectoriales reales
3.
Complexificación y estructuras reales

59
59
60
61

10. ESPACIOS DUALES
1.
El espacio L(V, K)
2.
Bases duales
3.
Espacios duales

63
63
64
64

Índice

ix

4.

Teorema de representación de Riez66

5.

Dualidad y transformaciones lineales

67

6.

Problemas

69

11. REPRESENTACIONES MATRICIALES DE TRANSFORMACIONES

71

1.

Matrices ssociadas a transformaciones lineales

71

2.

Problemas

75

12. FUNCIONES MULTILINEALES Y DETERMINANTES

77

1.

Funciones multilineales

77

2.

Determinates
2.1.
Construcción de funciones determinantes

79
793.

Relación entre funciones determinantes

81

4.

Determinantes de transformaciones lineales

82

5.

Determinantes de matrices

83

6.

Propiedades de determinantes

85

7.

Problemas

86

13. ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

89

1.

Productos interiores

89

2.

Propiedades de la norma y la distancia

91

3.

Como Recuperar apartir de

92

4.

La desigualdad de Schwarz

93

5.

Angulos
5.1.
Caso real
5.2.
Caso complejo

94
94
94

6.

Ortogonalidad

95

7.

Proyecciones ortogonales
7.1.
Caso de dimensión finita
7.2.
Caso de dimensión infinita

96
97
97

8.
9.

Existencia de bases ortonormales
8.1.
Proceso de ortoginalización de Gramm-Schmidt
Teorema de representación de Riez...