Ejercicio 1 Unidad IV



UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES GENERALES

Teorema 1 Sean V un espacio vectorial, u un vector en V y k un escalar; entonces:
a) 0 u = 0
b) k 0 = 0
c) (-1) u = - u
d) Si k u = 0, entonces k = 0 o u= 0

En los ejercicios del 1 al 13 se da un conjunto de objetos, junto con operaciones de adición y multiplicación escalar. Determinar cuáles conjuntos son espacios vectoriales bajo las operacionesdadas. Para aquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen.



1. El conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z) con las operaciones(x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’) y k(x,y,z)=(kx,y,z)

Solución:

(x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’)  Está bien
k(x,y,z)=(kx,y,z)  Está mal
Deberia de ser:
k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
No es un espacio vectorial.
No cumple elaxioma 8


2. El conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z) con las operaciones
(x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’) y k(x,y,z)=(0,0,0)

Solución:
(x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’)  Estábien
k(x,y,z)=(0,0,0)  Está mal
No es un espacio vectorial
No cumple con el axioma 8


3. El conjunto de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones
(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) yk(x,y)=(2kx,2ky)

Solución
(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)  Está bien
k(x,y)=(2kx,2ky)  Está mal
Debería ser:
k(x,y)=(kx,ky)
No es un espacio vectorial
No cumple con el axioma 9 y 10

4. El conjunto detodos los números reales x con las operaciones estándar de adición y multiplicación.


5. El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma (x, 0) con las operaciones estándar sobre R2.

6.El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma (x, y), donde , con las operaciones estándar sobre R2.

7. El conjunto de todas las n-adas de números reales de la forma (x, x,…, x)con las operaciones
estándar sobre Rn.

8. El conjunto de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones

(x,y)+(x’,y’)=(x+x’+1, y+y’+1) y k(x,y)=(kx,ky)

9. El conjunto de...