Ejercicio 4 Exp Alg Bra Lineal

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Ejercicio Numero 4, en LATEX. Algebra
Lineal Universidad Distrital.
Danny Jamaica D. - Jimmy Quimbayo - Juan David Giraldo
December 6, 2014
Sea V=R*R. Si x es un n´
umero real, sea T el operadorlineal (rotaci´on x). T(x1,x2)=(x1*Cos(x)x2*Sin(x), x1*Sin(x)+x2*Cos(x)). ¿Para que valores de x es T un operador positivo?.
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1. La transformaci´on T, estar´a dada por:
Cos(x) −Sin(x)
Sin(x) Cos(x)
Queal multiplicarla por:
(x1 , x2 )
Obtendremos lo siguiente:
x1 ∗ Cos(x) − x2 ∗ Sin(x)
x1 ∗ Sin(x) + x2 ∗ Cos(x)
Esta ultima es el resultado de aplicar T a el punto (x1,x2). Ahora sabemos que para losvalores positivos de x, la transformaci´on ocasionar´a una rotaci´on por la izquierda u opuesta a
las manecillas del reloj, si x es negativo ocurre todo lo opuesto. Esto se obtiene gracias a losvalores de x que genera matrices, ocasionando rotaciones en el espacio vectorial.
.
2. Tenemos como ejemplo: Si x=90◦ , se genera la matriz:
0 −1
1 0
Si transformamos el punto (5,2) en el plano R*R, connuestra nueva matriz obtendremos el
punto (-2,5), ocasionando como se dijo antes, una rotaci´on por izquierda en el plano R*R, ya
que el valor de x es positivo.
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3. Ahora por definici´on de operadorpositivo tenemos : x*T*xt > 0 ; donde xt definido
como x traspuesta, y adem´as:
∀x ∈ V, x = 0.
Y en nuestro caso tenemos la matriz:
(x1 , x2 ) ∗

Cos(x) −Sin(x)
Sin(x) Cos(x)
1

∗ (x1 , x2 )t

Alresolver y factorizar la operaci´on se obtendr´a un n´
umero real:
Sin(x) ∗ (x1 ∗ x2 − x2 ∗ x1 ) + Cos(x) ∗ (x21 + x22 )
Pero sin importar el valor de Sen(x), su valor se cancela a 0, entonces depender´ade los
valores de Cos(x):
Cos(x) ∗ (x21 + x22 ) >0
Ya que los t´erminos que se elevan al cuadrado siempre ser´an positivos entonces para que la
desigualad cumpla, Cos(x) debe ser distinto de cero,entonces solo se cumple que es un operador
positivo, con los valores positivos de Cos(x), los cuales son:
(−2 ∗ π, (−3 ∗ π)/2) ∪ (−π/2, π/2) ∪ ((3 ∗ π)/2, 2 ∗ π)
Pero puede ser extendida ya que Cos(x)...