ejercicio con teoria de colas

Ejercicios de Teor´a de Colas
ı
Investigaci´ n Operativa
o
Ingenier´a Inform´ tica, UC3M
ı
a
Curso 08/09

1. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene:
ρ
.
1−ρ

L=
Soluci´ n.
o
∞

npn

L=
n=0
∞

nρn (1 − ρ)

=
n=0
∞

∞
n

nρn+1

nρ −

=
n=0
∞

n=0

ρn

=

n=1
∞

ρn

=ρ
n=0

=

ρ
.
1−ρ

2. Demuestra que en una cola M/M/1 se tiene:
Lq =Soluci´ n.
o
Lq = λWq = λ

ρ2
.
1−ρ

ρ
ρ2
=
.
µ(1 − ρ)
1−ρ

3. En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecuci´ n de cada programa
o
es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecuci´ n se distribuyen exo
ponencialmente.a) ¿Qu´ proporci´ n de tiempo est´ el servidor desocupado?
e
o
a
1

b) ¿Cu´ l es el tiempo esperado total de salida de un programa?
a
c) ¿Cu´ l es el n´ mero medio de programas esperando en la cola del sistema?
a
u
Soluci´ n. El sistema es M/M/1 con λ = 10 trabajos por minuto y µ = 12 trabajos por minuto. Se
o
asumir´ que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como ρ =10/12 < 1, el sistema
a
alcanzar´ el estado estacionario y se pueden usar las f´ rmulas obtenidas en clase.
a
o
a) El servidor estar´ desocupado 1 − 5/6 = 1/6 del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya
a
que el ordenador est´ ocupado 5 × 10 = 50 segundos por minuto).
a
b) Tiempo medio total es W =

1
µ(1−ρ)

=

1
12(1−5/6)

= 1/2 minuto por programa.

c) El n´ mero mediode programas esperando en la cola es Lq =
u

ρ2
1−ρ

= 4.16 trabajos.

4. La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. los clientes
llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de
Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina
a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero est´desocupado.
a
b) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.
c) La fracci´ n de clientes que deben esperar en la cola.
o
Soluci´ n. Sistema M/M/1 con λ = 20 y µ = 30.
o
a) P (cajero ocioso) = p0 = 1 − ρ = 1/3. El 33 % de tiempo el cajero est´ ocioso.
a
b) Wq = 1/15 = 4 minutos.
c) L = 2, Lq = 4/3, por tanto la fracci´ n de clientes que deben esperar en la cola es Lq /L =
o
2/3≡ 66.6 %.
5. Una tienda de alimentaci´ n es atendida por una persona. Aparentemente el patr´ n de llegadas de
o
o
clientes durante los s´ bados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de
a
10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio
de la tienda, una vez que llegan est´ n dispuestos a esperar elservicio. Se estima que el tiempo que
a
se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos.
Determina:
a) La probabilidad de que haya l´nea de espera.
ı
b) La longitud media de la l´nea de espera.
ı
c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola.
Soluci´ n. Sistema M/M/1 con λ = 10 y µ = 15.
o
a) P (l´nea de espera) = 1 − p0 − p1 = 4/9.
ıb) Lq = 4/3 personas en cola.
c) Wq = 2/15 horas = 8 minutos de media en cola.

2

6. En una f´ brica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante
a
las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla,
ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a unespecialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duraci´ n
o
media de la conversaci´ n que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista
o
´
llega a la conclusi´ n de que durante la primera y la ultima media hora de la jornada la afluencia es
o
muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fen´ meno se puede...