EJERCICIO DE ALGEBRA BASICA


PROBLEMA. 1.

El marco de una fotografía mide 20cm de ancho por 14cm de alto, si la fotografía tiene un área de 160cm² ¿Cuánto mide el grueso del marco?
Primero tenemos el planteamiento:

Ancho = 20 – 2x
Alto = 14 – 2x
Àrea de la fotografía = 160cm²

Entonces sería el ancho del portaretratos menos el grosor del marco, esto multiplicado por la altura del portaretratosmenos el grosor del marco, y el producto sería igual 160 que es el área total del portarretratos.
Quedando de la siguiente manera:
( 20 – 2x ) ( 14 – 2x ) = 160
Ya que para sacar el área de un rectángulo se multiplica lado por lado.

Continuamos con la operación por medio de la aplicación de la utilización de la propiedad distributiva, quedando el siguiente polinomio:
280 – 40x – 28x + 4x² =160

Continuamos aplicando reducción de términos, pero antes pasamos nuestro 160 del otro lado del igual con su respectivo cambio de signo e igualamos nuestra ecuación a cero, quedando de la siguiente manera:
280 – 40x – 28x + 4x² - 160 = 0
4x²- 68x + 120 = 0

Y ahora tenemos una ecuación cuadrática con la cual podemos trabajar. Siendo nuestra formula:



Continuamos con lasustitución de valores asignando las letras “a,b,c” de izquierda a derecha a nuestros coeficientes, asì: a = 4 ; b = - 68 c = 120

Quedando asì:

Continuamos con las operaciones tanto de signos como de valores:


Realizamos nuestra resta al interior de la radical para obtener la cantidad a la cual hemos de sacar raíz cuadrada:


Se saca la raíz cuadrada de 2704 quedando de la siguientemanera:



Lo cual nos indica que tendremos dos resultados, separando nuestros signos intermedios tendremos por una parte una suma dividida entre ocho unidades y por otro lado una resta dividida entre ocho unidades, quedando de esta forma:






Tenemos estos dos resultados, el conjunto solución es R /. X = ( 2 , 15 )

procedemos a realizar nuestra comprobación sustituyendo el valorde equis en nuestra ecuación inicial para confirmar:

( 20 – 2x ) ( 14 – 2x ) = 160


( 16 ) ( 10 ) = 160
160 = 160



( 20 – 2x ) ( 14 – 2x ) = 160
= 160


160 = 160


Ancho = 20 – 2x → 20 – 2( 2 ) → 20 – 4 = 16
Alto = 14 – 2x → 14 – 2( 2 ) → 14 – 4 = 10
(16) (10) = 160

Ancho = 20 – 2x → 20 – 2( 15 ) → 20 – 30 = -10
Alto = 14 – 2x → 14– 2( 15 ) → 14 – 30 = -16
(-10) (-16) = 160

En este caso tomarìamos como resultado vàlido el 2, ya que al realizar la operación (multiplicación) con los valores conocidos nos da como resultado números positìvos; (16)(10) = 160 y también nos indìca de manera clara que la medida del grosor del marco es 4cm y por lo tanto es la que se adecùa a lo que se nos pide.
PROBLEMA. 2.

Paraobtener la cotización Luis necesita saber el área que abarca la oficina del director, pero el gerente sólo le indicó que la superficie total de la empresa es de 324 metros cuadrados y le dio un croquis con las siguientes medidas.
Sala de juntas = ( 5 ) ( x )
Direcciòn = ( x ) ( x )
Producciòn = ( 20 ) ( x )
Personal Administrativo = ( 5 ) ( 20 )
La operación sería la suma del producto de lasáreas de cada sección igualando la operación al área total de la superficie de la empresa para llegar a la ecuación cuadrática con la cual conseguiremos obtener el área de la oficina del director:

( 5 ) ( x ) + ( x ) ( x ) + ( 20 ) ( x ) + ( 5 ) ( 20 ) = 324
5x + x² + 20x + 100 = 324

Continuamos pasando nuestro coeficiente de la derecha hacia el otro lado, reducimos términos semejantes eigualamos a cero nuestro trinomio resultante acomodando nuestros términos de forma descendente con respecto a los exponentes:
5x + x² + 20x + 100 – 324 = 0
x² + 25x – 224 = 0

Ahora tenemos nuestra ecuación cuadrática con la que trabajaremos y aplicamos el mismo procedimiento de resolución del problema anterior, es decir por medio de fòrmula general. Sèa : a = 1 ; b = 25 ; c = - 224...