ejercicios algebra

1. Demostrar las siguientes propiedades de los n´meros reales a partir de los axiomas de orden,
u
las definiciones de y ≥, |x| y las propiedades de campo.
a)

x≤x

b) (x ≤ y ∧ y ≤ z) → x ≤ zc)

¬(x < y ∧ x = y ∧ x > y)

d)

(x > y) ↔ ¬(x ≤ y)

e)

x 0 → x−1 > 0

h)

0 < x < y → x−1 > y −1

i)

(x < y ∧ z > 0) → x · z < y · z

j)

(x < y ∧ z < 0) → x · z > y · zk)

(x < y ∧ z < u) → x + z < y + u

l)

(x > 0 ∧ y < 0) → x · y < 0

m)

(x < 0 ∧ y < 0) → x · y > 0

n)

x2 ≥ 0

n)
˜

x>y→x>

o)

∀x ∈ R ∃y ∈ R ∃z ∈ R(y < x < z)

x+y
2>y

p) Si a, b, c, ∈ R y b2 − 4ac < 0, entonces
a > 0 → ∀x ∈ R(ax2 + bx + c > 0)
a < 0 → ∀x ∈ R(ax2 + bx + c > 0)
q)

|x| ≥ x

s)

|x| =
y

u)

|x + y| ≤ |x| + |y|

|x|
|y|r)

|x · y| = |x| · |y|

t)

| − x| = |x|

2. Efectuar las siguientes operaciones de conjuntos de n´meros reales, expresando en la forma
u
mas simple:
a) [−3, 2] ∪ [−1, 5]

h) R − R−

b)([−10, 10]−[−3, 2])−([−10, 10]−[−1, 5])

i) R+ ∩ Z

1
c) [−1, 1] ∪ [− 1 , 2 ] ∪ [− 1 , 1 ] ∪ [− 1 , 1 ]
2
3 3
4 4

j ) Q ∩ [0, 1]

d ) (−∞, 3) ∩ (−2, ∞)

k ) {x : x < 1 ∧ x ≥ −10}

e)([−3, 2] ∩ [−1, 5]) ∪ (−3, 1))

l ) {x : x ≤ −8 ∨ x > 10}

f ) {x : x < 5} ∩ N

m) {x : x > 0 ∧ (x ≤ 1 ∨ x ≥ 2)}

g) {x : x es par} ∩ {x : 0 < x < 8}

n) {x : x2 > 4} ∩ R+

3. Resolverlas siguientes ecuaciones en R.
a) |x2 − 5x + 1| = 2
b) |x2 + 1| = |2x|
c) |x + 2| + |5 − x| = 0

d ) |x2 + x + 1| = |x2 − 2x − 5|
e) |x − 2| = −(x2 + 1)

4. Resolver las siguientesinecuaciones en R.
√
a) x − 1 > x + 1
b) |2x − 1| < 3
c)
e)

|3x + 5| > 2
√
√
1−x− 2−x>1

d)

x + |x| ≤ 4
f)

x2 − 6x − 7
0

h)

i)

|1 + |x − 1| + x| < 4

j)

x2 − 1
|>2
x2 − 4
√√
x−2− x−6
x2 + 3x + 2
x+2

5. Resolver las siguientes inecuaciones:
7
6
a)
− 2
y}
b) R = {(x, y) ∈ R2 / | x | + | y |≤ 2}
c) R = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ 1}
√
d ) R = {(x, y) ∈ R2...