ejercicios algebra

Hoja 3
Ecuaciones lineales
1. Calcular la soluci´on general del sistema u′ = Au y esbozar su diagrama de fase, siendo A:
a) A =

1 3
3 1

d) A =

7 2
−5 5

3 1
1 3

b) A =

e) A =

c) A =

3 4
−1 7f) A =

3 −18
2 −9
1 −1
5 −3

2. Para las siguientes ecuaciones
a) u′′ + u′ − 6u = 0

b) u′′ + 2u′ + u = 0

c) u′′ + 4u = 0

d) u′′ − 2u′ + 4u = 0

e) u′′ + 4u′ + 4u = 10t3 e−2t f) u′′ − 2u′ + u = eti) Hallar la soluci´on general. ii) Hallar la soluci´on particular si u(0) = 1, u′ (0) = 0.
3. Dada b ∈ C(R; R), determinar la soluci´on general para cada una de las siguientes ecuaciones:
a) u′′ + u= b(t)

b) u′′ − 2αu′ + α2 u = b(t),

α = contst.

4. Para cada L > 0 determinar el conjunto de valores de µ ∈ R para los que el problema de
valores de contorno
−u′′ (x) = µu(x), x ∈ (0, L)
u(0) =u(L) = 0
tiene alguna soluci´on no trivial (u = 0).
5. Considerar una ecuaci´on de segundo orden:
u′′ + a1 (t)u′ + a2 (t)u = 0,

a1,2 ∈ C(J; R)

i) Sea u1 (t) una soluci´on de la ecuaci´on diferencialque no se anula en t ∈ J. Probar que
existe una segunda soluci´on de la forma
u2 (t) = b(t)u1 (t)
y que {u1 (t), u2 (t)} es un sistema fundamental de soluciones.
ii) Aplicar lo anterior a
u′′ − 2tu′ +2u = 0,

t>0

comprobando que u1 = t es una soluci´on y calcular a partir de ella la soluci´on general.
6. Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones a partir de la soluci´on particulara) t2 u′′ + tu′ − 4u = 0,

Particular: u1 = t2

b) (1 − t2 )u′′ − 2tu′ + 2u = 0,

Particular: u1 = t

c) tu′′ − (2t + 1)u′ + (t + 1)u = 0,

Particular: u1 = et

1

7. Para cada una de las siguientesecuaciones:
a) tu′′ − (1 + t)u′ + u = t3 e2t
b) t2 u′′ − t(t + 2)u′ + (t + 2)u = t5 ,
i) Hallar una soluci´on part´ıcular del problema homog´eneo en la forma de un polinomio
del menor grado posibleii) Hallar la soluci´on general del problema homog´eneo
iii) Hallar la soluci´on general del problema completo
8. Para cada una de las siguientes matrices A, encontrar la forma can´onica de Jordan J,...