ejercicios calculo integral

Julián Moreno Mestre
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Academia las Rozas
www.academialasrozas.com

Ejercicios para aprender a integrar
Propiedades de las integrales:

∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx
∫ f ( x)dx = − ∫

∫ f ( x) ± g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

b

a

f ( x)dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a)

a
b

b

Polinomios y series de potencias
Reglas de integración:

∫ adx = ax + k

n∫ x dx =

x n+1
+k
n +1

∫

n ≠′ −1

dx
= ln x + k
x

Ejemplos:
4 x11
∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 11 + k
2
dx
x −2
+k
dx = 2∫ 3 = 2 ∫ x −3dx = 2
∫ x3
−2
x
10

∫(x

10

∫(x

10

2

3

+x +x

4

∫ xdx = 4∫

)

+ 2 x 2 + x −5 dx = ∫ x10 dx + 2∫ x 2 dx + ∫ x −5 dx =

−2

)

x3 x 4 x −1
dx = + +
+k
3
4 −1

dx
= 4 ln x + k
x

x11
x3 x −4
+2 ++k
11
3 −4

Ejercicios:
1º Calcule las siguientes integrales:

∫ x dx
d) ∫ ( x 7 + 8 x3 + x −2 ) dx

e)

⎛2 1 ⎞
g) ∫ ⎜ + 2 ⎟dx
⎝x x ⎠

⎛ 1
1 ⎞
h) ∫ ⎜ −100 +
⎟dx
x 2⎠
⎝x

a)

4

∫ ( 7 x + 4 x ) dx
m) ∫ ( x + 3 x ) dx

b) ∫ ( x 3 + 2 x)dx

∫(x

−6

− x −4 + x

∫ ( x + 2 x ) dx
f) ∫ ( xπ + x e + xi ) dx
c)

2

) dx

2

3

1⎞
⎛
i) ∫ ⎜ 3 x 2 + ⎟dx
x⎠⎝

∫ ( x + x + 2 )dx
n) ∫ ( π x + −2 x ) dx

∫ ( x + 3x + 1) dx
ñ) ∫ (1/ 3 x + 1/ 2 x ) dx

x5
+k
a)
5

x4
b)
+ x2 + k
4

x3 x 4
c)
+ +k
3
2

x8
x 4 x −1
+8 +
+k
d)
8
4 −1

x −5 x −3 x 2 +1
−
+
+k
e)
−5 −3
2 +1

xπ +1 x e+1 xi +1
f)
+
+
+k
π +1 e +1 i +1

1
g) 2 ln x − + k
x

h)

x101 x1− 2
+
+k
101 1 − 2

i) x3 + ln x + k

4
j) 7 ln x− + k
x

k)

x11 x −2
+
+ 2x + k
11 −2

l)

x3 3x 2
+
+ x+k
3
2

x3 / 2 x 4 / 3
+
+k
m)
3/ 2 4/ 3

x1/ 2
n) π
+
+k
1 + π 1/ 2

ñ)

x 4 x3
+ +k
4
3

j)

−1

−2

k)

10

−3

l)

2

Sol:

1

xπ

+1

–1–

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Teorema del cambio de variables (Método desustitución)
El método del cambio de variables es utilizado básicamente con dos fines muy distintos:
1) Conseguir que una expresión complicada parezca más sencilla, de tal forma que
sea inmediata su integración.
2)

Cambios de un sistema de coordenadas a otro, pasando de coordenadas cartesianas
a polares, cilíndricas o esféricas, según convenga.

Vamos a enunciar el teorema del cambio devariables en integración.
Teorema: Sea g (x) una función con derivada g ' ( x) continua en [a, b] , y sea

f : g ( [ a, b ] ) →

continua. Entonces, haciendo el cambio de variable t = g ( x) , resulta:
g (b )

b

∫a f ( g ( x))·g ' ( x)dx = ∫ g (a) f (t )dt
A veces se emplea el teorema del cambio de variables al revés:
b

∫a

f ( x)dx = ∫

g −1 (b )
g −1 ( a )

f ( g (t ))·g ' (t)dt

Este es el teorema general cuando tenemos integrales definidas, por ahora solo
estudiamos el caso de integrales indefinidas. Por tanto utilizaremos:
∫ f ( g ( x))·g '( x)dx = ∫ f (t )dt
∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t ))·g '(t )dt

t = g ( x) → dt = g '( x)dx
x = g (t ) → dx = g '(t )dt
Iremos viendo progresivamente su aplicación en diversos casos y ejemplos a medida
que avancemos en algunasreglas de integración.
Advertencia: El método del cambio de variables no resuelve integrales, de hecho no
vuelve resoluble una integral, lo que este método hace es que una integral que parece a
simple vista difícil parezca más fácil.

Potencias de polinomios (funciones elevadas a potencias)
Reglas de integración:
u n+1
∫ u ' u dx = n + 1 + k
n

u'

∫ u dx = ln u + k

n ≠ −1Ejemplos:

∫ ( x + 5)

8

( x + 5 )9 + k
dx =

9
⎡t = x + 5⎤
( x + 5 )9 + k
t9
8
8
∫ ( x + 5) dx → ⎢ dt = dx ⎥ → ∫ t dt = 9 + k = 9
⎣
⎦

dx

∫ x − 3 = ln x − 3 + k
dx

⎡ t = x − 3⎤

∫ x − 3 → ⎢ dt = dx ⎥ → ∫
⎣
⎦

dt
= ln t + k = ln x − 3 + k
t

–2–

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( x − 5)3/ 2 + k
dx =...