Ejercicios de calculo vectorial integrales multiples

UNIDAD 5: Integrales Múltiples
Subtema 5.1.- Integrales iteradas
1. -322-33x2ydxdy=-32ydy2-33x2dx=-32ydy3x332-3 =-32ydy-27-8=-35-32ydy=-35y22-32=-3542-92=-35-52=1752

2. 16y5xydx=5y16yxdx=5yx2216y=5y36y22-12=180y32-52y=90y3-52y

3. 12x5xydy=5x12xydy=5xy2212x=5x4x22-12=5x2x2-12=10x3-52x

4. 03xx-2ydy=03xxdy-03x2ydy=x03xdy-203xydy=xy03x-2y2203x=x3x-0-3x2-02=3x2-9x2=-6x25. 12y2y(2x+3y) dxdy=12dyy2y2x+3ydx=12x2+3y(x)y2ydy=12(2y)2+3y(2y)-((y)2+3yy)dy= 126y2dy=612y33=2(2)3-(1)312=28-1=14

6. 122x2-2x2+xxdydx=12xdx2x2-2x2+xdy=12xdxy2x2-2x2+x= 12xdxx2+x-2x2-2=12xdxx2+x-2x2+2=12x-x2+x+2dx=12-x3+x2+2xdx= -x44+x33+2x2212=-164+83+4--14+13+1=-4+83+5-43-14= 1912

Subtema 5.2.- Definición de integral doble: áreas y volúmenes
1. A)05y225dxdy=05dyy225dx=05dyxy225=0525-y2dy=0525dy-05y2dy=25y-y3305=255-522-(0)=125-1253=2503

B) 02x22-xdydx=02dxx22-xdy=02dxyx22-x=02dx2-x-x2=022-x-x2dx=2x-x22-x3302=4-2-83-0=2-83=-23
2. Dados los siguientes momentos de masa; resolver las integrales iteradas y buscar el centro de masa correspondienteM=05y6y-y2kdxdy=k05dyy6y-y2dx=k05dyxy6y-y2=k056y-y2-ydy=k055y-y2dy=k055ydy-05y2dy=k5y22-y3305=k5252-1253-(0)=k1252-1253=125k6
Mx=03x+2x2kydydx=k03dxx+2x2ydy=k05dxy22x+2x2=k03dxx42-(x+2)22=k03dxx42-x2+4x+42=12k03(x4-x2-4x-4)dx=k2x55-x33-4x22-4x03=k22435-273-18-12=k2485=48k10=24k5
My=05y6y-y2kxdxd=k05dyy6y-y2xdx=k05dyx22y6y-y2=k05dy6y-y222-y22=k05dy36y2-12y3+y42-y22=k20535y2-12y3+y4dy=k235y33-12y44+y5505=k2351253-3625+31255=k243753-1875+31255=k26253=625k6
Centro de masa
x=MyM=6256k6125k6=3750k750k=5Cm=x,y=5,144625
y=MxM=24k5125k6=144k625k=
Subtema 5.3 Integral doble en coordenadas polares
Ejercicio1.- estando sometida a un campo de fuerzas
Fx,y=3y3i+x4+9xy2j
Una partícula da una vuelta completa a un círculo de radio r=5, realizar el bosquejo y aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por el campo F.M=3y3 N=x4+9xy2
∂M∂y=9y2 ∂N∂x=4x3+9y2
∂N∂x-∂M∂y=4x3+9y2-9y2=4x3
x=rcosθ dA=rdrdθ

Ejercicio 2.- Calcular la siguiente integral doble dada en coordenadas polares
a) 02π045r4sinθdrdθ=502πsinθdθ04r4dr=502πsinθdθr5504=502πsinθdθ10245-0=(5)1024502πsinθdθ=1024-cosθ02π=1024-cos360-(-cos0)=1024-1--1=1024-1+1=10240=0

b)02π02-2r2sinθdrdθ=-202πsinθdθ02r2dr=-202πsinθdθr3302=-202πsinθdθ83-0=(-2)8302πsinθdθ=-163-cosθ02π=-163-cos360-(-cos0)=-163-1--1=-163-1+1=-1630=0
Subtema 5.4 Aplicaciones de la integral doble (geométricas y físicas)
1. 040y32x+ydxdy=04dy0y32x+ydx=04dy0y32xdx+0y3ydx=04dy2x22+yx0y3=04dyy29+y23=4904y2dy=49y3304=49643-0=49643=25627
2.0502y32x+ydxdy=05dy02y32x+ydx=05dy02y32xdx+02y3ydx=05dy2x22+yx02y3=05dy4y29+2y23=10905y2dy=109y3305=1091253-0=1091253=125027

Subtema 5.5.- Definición de integral triple
1. -112301xy+yzdzdydx=-11dx23dy01xy+yzdz=
-11dx23dy01xydz+01yzdz=-11dx23dyxyz+yz2201=-11dx23dyxy+12y=-11dx[23xydy+1223ydy]=-11dxxy22+12y2223
=-11dx92x+94-2x+1=-1152x+54dx=52-11xdx+54-11dx=52x22+54x-11=5212+54-5212-54=54+54-54+54=104=52=2.5

2. 030201x+y+zdxdydz= 03dz02dy01x+y+zdx=-11dz23x2201+yx01+zx01dy
03dz0212+y+zdy=0312y02+y2202+zy02dz= 033+2zdz= 3z+z203= 33+(3)2 = 18
Subtema 5.6 integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas
1. 040π208rcosθdrdθdz=04dz0π2cosθdθ08rdr
=04dz0π2cosθdθr2208=04dz0π2cosθ642-0dθ=04dz0π2cosθ642 dθ=3204dz09os
triple en coordenadas cilindricas 0π2cosθdθ=3204dzsinθ0π2=32041-0dz=3204dz=32z04=324-0=324=128

2.040π208r2cosθdrdθdz=04dz0π2cosθdθ08r2dr
04dz0π2cosθdθr3308=04dz0π2cosθ833-0dθ=512304dz0π2cosθdθ=512304dzsinθ0π2=5123041-0dz=512304dz=5123z04=51234-0=51234=20483

3. 040π204rzsinθdrdθdz=04zdz0π2sinθdθ04rdr
=04zdz0π2sinθdθr2204=04zdz0π2sinθ422dθ=16204zdz0π2sinθdθ=16204zdz-cosθ0π2=16204z(0—1dz=804zdz=8z2204=8162-0=88=64

du=-2re-r2
Subtema 5.7 Aplicaciones de la integral triple
1....