Ejercicios de algebra

Introducci´n
o
´
al Algebra Lineal
Soluciones a ejercicios seleccionados

´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o
Soluciones a ejercicios seleccionados.
M. Sc. Sebasti´n Casta˜eda Hern´ndez.
a
n
a
Dr. Agust´ Barrios Sarmiento.
ın
Barranquilla - Colombia

Contenido
1 Preliminares
1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2 Conjuntos y relaciones . . . . . . . .
1.3El concepto de estructura algebraica
1.4 Semigrupos, monoides y grupos . . .

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2 Sistemas de ecuaciones lineales
2.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2 El espacio Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . .
2.3.1 La ecuaci´n lineal . . . . . . . . . .
o
2.3.2 Sistemas de ecuacioneslineales . .
2.4 Sistemas homog´neos. Subespacios de Rn .
e
2.4.1 Dependencia e independencia lineal
2.5 Norma vectorial. Ortogonalidad. . . . . . .

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5
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11
11
12
12
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33

3 Sistemas de inecuaciones lineales
39
3.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39
o
3.2 Programaci´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
o
4 Vectores en R2 y R3 .
4.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.2 Segmentos dirigidos en En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Aplicaciones geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

41
41
48
51

5 La estructura de espaciovectorial y espacios de matrices
67
5.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
o
5.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Espacios de matrices sobre un campo . . . . . . . . . . . . . . . 70
3

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5.4

Sistemas lineales en Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73
5.4.1 La matriz identidad. Matrices invertibles . . . . . . . . . 73

Cap´
ıtulo

1

Preliminares
1.1

Introducci´n
o

1.2

Conjuntos y relaciones
Ejercicios 1.2.1.

1. (a)
(b)
(c) Claramente IA es reflexiva. Ahora, si (x, y) ∈ IA , entonces y = x y
(y, x) = (x, y) = (x, x) ∈ IA , por lo que IA es sim´trica. Finalmente,
e
si x, y, z ∈ A y (x, y), (y, z) ∈ IA sesigue que x = y y y = z, por
lo que x = z y entonces (x, z) ∈ IA . Se tiene entonces que IA es
transitiva.
(d) Errata: La ultima pareja de la relaci´n R es (d, c) (no (d, a) como
´
o
aparece en el texto).
Dado que IA ⊆ R se sigue que R es reflexiva, Para la simetr´ basta
ıa,
con ver que (a, b), (b, a) ∈ R y (c, d), (d, c) ∈ R, pues para (x, y) ∈ IA
claramente (y, x) ∈ IA ⊆ R. Para verificarla transitividad, es
5

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suficiente con los casos siguientes:
(a, a), (a, b) ∈ R
(b, b), (b, a) ∈ R
(a, b), (b, b) ∈ R
(b, a), (a, a) ∈ R
(a, b), (b, a) ∈ R
(b, a), (a, b) ∈ R

=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒

(a, b) ∈ R
(b, a) ∈ R
(a, b) ∈ R
(b, a) ∈ R
(a, a) ∈ R
(b, b) ∈ R

y los seis que resultan reemplazando en lo anterior cadaocurrencia
de a y b por c y d, respectivamente.
2. Si X, Y, Z ⊆ A, entonces se cumple:
(∀x)(x ∈ X =⇒ x ∈ X) =⇒ X ⊆ X
X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X =⇒ X = Y,
lo que muestra que la inclusi´n es reflexiva y antisim´trica en P(A).
o
e
Ahora, si X ⊆ Y y Y ⊆ Z, entonces se tiene:
x ∈ X =⇒ x ∈ Y
=⇒ x ∈ Z,
es decir, necesariamente X ⊆ Z, con lo que se cumple la propiedad
transitiva.
3. Sean A y B conjuntos...