Ejercicios de algebra

Cap´ıtulo 1

EJERCICIOS
COMPLEMENTARIOS DE
´
ALGEBRA
1.1.
1.1.1.

CONCEPTOS
PRODUCTOS NOTABLES

Estos son los productos mas empleados para la soluci´on de expresiones algebr´aicas:
2

5. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

2

6. (x + a) (x − b) = x2 + (a − b) x − ab

3

7. (x − a) (x + b) = x2 + (b − a) x − ab

3

8. (x − a) (x − b) = x2 − (a + b) x − ab

1. (a +b) = a2 + 2ab + b2
2. (a − b) = a2 − 2ab + b2
3. (a − b) = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
4. (a − b) = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

EJEMPLO 1: Hallar el producto notable de la siguiente expresi´on: (x + 1)(x − 2).
´
SOLUCION:
Vemos que esta expresion cumple las condiciones para el producto notable de la tabla,
en este caso el inciso 6. Donde a = 1 y b = 2; lo aplicamos y nos da como resultado:
(x +1)(x − 2) = x2 + (1 − 2)x − (1)(2)
(x + 1)(x − 2) = x2 − x − 2

575

´
CAP´ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

576

EJEMPLO 2: Hallar el producto notable de la siguiente expresi´on: (9y 2 − 2x3 )2
´
SOLUCION:
Este se pararece al producto de un binomio cuadrado perfecto que se encuentra en la
tabla, en el inciso 2, donde a = 9y 2 y b = 2x3 , lo aplicamos y tenemos comoresultado:
(9y 2 − 2x3 )2 = (9y 2 )2 − 2(9y 2 )(2x3 ) + (2x3 )2
9y 2 − 2x3

1.1.2.

2

= 81y 4 − 36x3 y 2 + 4x6

´ DE POLINOMIOS
FACTORIZACION

1. x2 − y 2 = (x + y) (x − y)
2. x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
3. x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2
EJEMPLO 1: Factorizar el siguiente binomio 27 + 125a3 .
´
SOLUCION:
Aplicamos la diferencia de cubos que esta en la tabla del inciso 2 yaque este es
paracido a la expresi´on dada y adem´as 27 y 125a tienes ra´ıces c´
ubicas exactas. aplicando y efectuando:
27 + 125a3 = 33 + (5a)3 = (3 + 5a) 32 − (3)(5a) + (5a)2
Por lo tanto, 27 + 125a3 = (3 + 5a) 9 − 15a + 25a2
2

EJEMPLO 2: Factorizar el siguiente binomio (a − b) − c2 .
´
SOLUCION:
Aplicamos la diferencia de cuadrado que esta en la tabla del inciso 1 ya que este
esparacido a la expresi´on dada y adem´as (a − b)2 y c2 tienes ra´ıces cuadradas exactas. aplicando y efectuando:
2

(a − b) − c2 = [(a − b) + c] [(a − b) − c]
2

Por lo tanto, (a − b) − c2 = (a − b + c) (a − b − c).

1.1. CONCEPTOS

1.1.3.

577

FRACCIONES ALGEBRAICA

1. a (b + c) = ab + ac
2.

a+b
c

=

a
c

+

b
c

EJEMPLO 1: Resolver la ecuaci´on

3.

a
b

4.a
b
c
d

2x−1
3

+
=

−

c
d
a
b

=

ad+bc
bd

×

c
d

x+13
24

=

ac
bd

= 3x +

5(x+1)
8

´
SOLUCION:
El m.c.m de 3,24 y 8 es 24. Dividiendo 24 entre 3,24,1 y 8 y multiplicando lo cocientes por el numerador respectivo, tendremos:
8 (2x − 1) − (x + 13) = 24 (3x) + 15 (x + 1)
16x − 8 − x − 13 = 72x + 15x + 15
16x − x − 72x − 15x = 15 + 8 + 13
−72x =36
1
x = − 36
72 = − 2

Por lo tanto, x = − 12 .
3
EJEMPLO 2: Resolver la ecuaci´on 2x+1

−

2
2x−1

−

x+3
4x2 −1

=0

´
SOLUCION:
El m.c.m de los denominadores es 4x2 −1 por que 4x2 −1 = (2x−1)(2x+1) y aqu´ı vemos que contiene a los otros dos denominadores. Dividiendo por (2x − 1)(2x + 1) entre
cada denominador y multiplicando por el numerador respectivo, tendremos:
3(2x − 1) − 2 (2x + 1) − (x + 3) = 0
6x − 3 − 4x − 2 − x − 3 = 0
6x − 4x − x = 3 + 2 + 3
x=8
Por lo tanto, x = 8

´
CAP´ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

578

´ Y RADICACION
´
POTENCIACION

1.1.4.


1,
Si m = n





xm−n , Si m > n
=




 1 , Si m < n
xn−m

xm
xn

1. xm xn = xm+n

7.

2. (xm )n = xmn

8. x−n =

3. (xy)n = xn y n9.

1

4. x n =
5.

√
n

√
n

xy =
√
n

x
y

n

1
xn

=

m

x

10. x n =

√
√
n
xny

11.

√
m

√

n

x
y

=

xn
yn

√
n

√ m
xm = ( n x)

√
nx
√
ny

12. x0 = 1
√
√
√
EJEMPLO: 1 Simplificar la expresi´on 2 2ab2 + 18a3 − (a + 2b) 2a
6.

m

x=

n

x=

mn

x

´
SOLUCION:
Simplificando en primera instancia, los...