ejercicios de calculo vectorial

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UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
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CALCULO VECTORIAL
EJERCICIOS
1. Realice una aproximaci´n de las siguientes cantidades:
o
a) (0,99e0,02 )8 .
b) (0,99)3 + (2,01)3 − 6(0,99)(2,01).
c) (4,01)2 +(3,98)2 + (2,02)2 .
√
√
d) ln 4,15 + 9,08 − 4 .
√
e) arctan( 0,2 + 0,98).
2. Pruebe que las siguientes funciones son diferenciables en su dominio.
a) f : R2 −→ R, (x, y) −→ 2.
b) f : R2 −→ R,(x, y) −→ exy .
c) f : R2 −→ R, (x, y) −→ x4 − y 4 .
3. Suponga f (u, v) = (tan(u − 1) − ev , u2 − v 2 ) y g(x, y) = (ex−y , x − y).
Calcule f ◦ g y D(f ◦ g)(1, 1).
4. Sean
f (u, v, w) = eu−w ,cos(v + u) + sin(u + v + w) ,
y
g(x, y) = ex , cos(y − x), e−y .
Calcule f ◦ g y D(f ◦ g)(0, 0).
5. Suponga que un pato est´ nadando en el c´
a
ırculo x = cos t, y = sin t y
que la temperaturadel agua est´ dada por la f´rmula T = x2 ey − xy 3 .
a
o
Hallar dT /dt, la tasa de cambio en temperatura que puede sentir el
pato: (a) mediante la regla de la cadena; (b) expresando T en t´rminos
ede t y diferenciando.
6. Sea f : R2 −→ R; (x, y) −→ (ex+y , ex−y ). Sea c(t) una curva con
c(0) = (0, 0) y c (0) = (1, 1). ¿Cu´l es el vector tangente a la imagen
a
de c(t) bajo f en t = 0?
7.Calcule las derivadas parciales de segundo orden para cada una de las
funciones siguientes. ¿Son iguales las derivadas parciales mixtas?
a) f (x, y) = (x22xy2 )2 , (x, y) = (0, 0).
+y
1
b) f (x,y, z) = ez + x + xe−y , x = 0.
2
c) f (x, y) = e−xy + y 3 x4 .
Jonathan Gonz´lez Ospino
a

8. Sea w = f (x, y) una funci´n de clase C 2 de dos variables y sea x = u+v,
o
y = u − v. Verifiqueque
∂ 2w ∂ 2w
∂ 2w
=
−
.
∂u∂v
∂x2
∂y 2
9. Una funci´n u = f (x, y) con segundas derivadas parciales continuas
o
que satisfaga la ecuaci´n de Laplace
o
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
se llamafunci´n arm´nica. ¿Cu´les de las siguientes funciones son
o
o
a
arm´nicas?
o
a) u(x, y) = x3 − 3xy 2 .
b) u(x, y) = ex sin y.
c) u(x, y) = sin x cosh y.
10. Sea f : R2 −→ R dada por
√ xy...