ejercicios de ingeniería civil

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA
CÁLCULO DIFERENCIAL PARA EL PROGRAMA DE
INGENIERÍA CIVIL
Primer entrega

Realizados por:
José Jorge Sierra Molina 153305
Jorge Luis Riveros Rodríguez 214599

Universidad Nacional de Colombia
Sede Bogotá
Primer semestre de 2012

EJERCICIO 1
Temas: Conteo
Materia: Matemáticas Básicas
Aplicaciones: Gestión en Construcción
El índice deconstrucción es un indicador que relaciona las áreas totales construidas con las áreas
del terreno de dichas construcciones. Si el área del terreno para un proyecto de apartamentos es
de 1 Hectarea y se desean construir apartamentos en promedio de 100m2. Cuantos apartamentos
se podrán construir si el índice de construcción establecido es de 4.5.
Solución
El área total para construir será:=4.5*10000m2
=45000m2

EL número de apartamentos será:

EJERCICIO 2
Temas: Ecuaciones de primer grado
Materia: Matemáticas Básicas
Aplicaciones: Geotecnia. Equilibrio de esfuerzos, sumatoria de momentos igual a cero.
Demostrar que el esfuerzo cortante en un plano z en dirección x, es igual al esfuerzo cortante en la
dirección x en el plano z.

Solución
Para garantizar el equilibrio setiene como condición que la sumatoria de momentos es 0.

∑
Entonces,

(

( )

( )

(

)( )

( )

(

Al plantear la sumatoria de momentos teniendo en cuenta la condición de equilibrio que implica
que esta debe ser igual a cero se obtiene, tras un breve desarrollo matemático, que el esfuerzo
cortante que actúa sobre el plano z en la dirección x es el mismo que actúa en el plano xen la
dirección z, es decir:

EJERCICIO 3
Temas: Matriz inversa
Materia: Algebra lineal
Aplicaciones: Geotecnia. Obtención de la matriz de rigidez tras invertir la matriz de
compresibilidad
Esta matriz se conoce como la matriz de compresibilidad y se denota como [c e]. La inversa de la
matriz de compresibilidad por supuesto es la matriz de rigidez, denotada [ke]. Calcularla.

SoluciónComo tenemos que,
[ce]-1= [ke]
Para obtener la mencionada matriz inversa puede utilizarse el método de Gauss Jordan, pero por
practicidad, podemos dividir la matriz de compresibilidad en cuatro por los 0 que tiene. Entonces
la primera parte (fila 1 a 3 y columna y a 3) y la segunda parte (4 a 6 fila y columna), podrán ser
invertidas y puestas allí.
Tras dividir la matriz de compresibilidad[ce] e invertirla se obtiene la matriz mostrada a
continuación, que corresponde a la matriz de rigidez [ke].

EJERCICIO 4
Temas: Geometría.
Materia: Algebra lineal. Matemáticas básicas
Aplicaciones: Geotecnia
Para un talud de 15° infinito encuentre el estado de esfuerzos a una profundidad de 7 metros en el
plano x,z
⁄

Solución
Lo primero que hacemos es equilibrio de esfuerzos, paraeste caso usamos esta ecuación:

⁄

⁄
Ecuaciones constitutivas

√(

)
⁄
⁄

Ahora realizamos una rotación de 15 grados aplicando las ecuaciones siguientes y asi
obtendremos los esfuerzos en los planos x y z.

⁄

⁄

⁄
EJERCICIO 5
Temas: Integrales
Materia: Calculo Integral
Aplicaciones: Mecánica de sólidos. Solución de modelos viscoelasticos.
Encontrar el desplazamiento enun modelo visco elástico como el que se presenta a continuación.

Solución
Equilibrio

Compatibilidad

Constitutivas

Reemplazando las ecuaciones constitutivas la de equilibrio,

Integrando a ambos lados por el diferencial indicado
|
|

|
|

|

|

EJERCICIO 6
Temas: Integrales
Materia: matemáticas básicas
Aplicaciones: Mecánica de sólidos. Solución de modelo elástico.Encontrar el desplazamiento en un modelo elástico con n resortes en serie como el que se
presenta a continuación.

Solución
Equilibrio:

Compatibilidad:

Constitutivas:

Si se remplazan las ecuaciones constitutivas en la ecuación de compatibilidad se obtiene,

Al factorizar,

Luego,

Finalmente la ecuación que relaciona la carga con el desplazamiento del sistema es

Ejercicio 7...