Ejercicios De Sucesiones

Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones numéricas
1. Dado " > 0, calcula m" 2 N tal que para todo n> m" se verifique jxn vienen dados en cada caso por: a/ xn D xj < " donde xn , x

Sugerencia. Como consecuencia del binomio de Newton, para x x n D.1C.x 1//n >1Cn.x

p p 2n C 3 2 3 ; xD I b/ xn D n C 1 3 n ; x D 0 3n 50 3   p 1 n d/ xn D p c/ xn D n a .a > 0/; x D 1I ; xD0 2 p p  n n C1 n n ; x D 0I f / xn D n2 an .jaj < 1/; x D 0 e/ xn D n 1/:

1 > 0 se verifica que

Esta desigualdad, convenientemente usada, permite resolver con facilidad los casos b), c), d) y e). Solución. Como regla general, en este tipo de ejercicios hay que “trabajar hacia atrás”, esto es, se calcula y simplifica jxn xj y se convierte la desigualdad jxn xj < " en otra equivalente a ella de la forma n >'."/ donde '."/ es un número que depende de ". Basta entonces tomar m"
como la parte entera de '."/ más 1, m" D E '."/ C 1, con lo cual para todo n > m" se tiene que n < '."/ y, por tanto, jxn xj < ".

Este procedimiento admite muchos atajos. Hay que tener en cuenta que no se pide calcular el m" “óptimo”, es decir, el menor valor posible de m" tal que n>m" ÷jxn xj < ", sino que se pidecalcular cualquier valor de m" para el cual sea cierta dicha implicación. Para ello es suficiente con obtener, a partir de la desigualdad jxn xj < ", otra desigualdad del tipo n > '."/ de forma que se verifique la implicación n > '."/÷jxn xj < ". En este procedimiento hay que quitar valores absolutos. Esto siempre puede hacerse porque la desigualdad jxn xj < " equivale a las dos desigualdades " < x n x <". Con frecuencia, el número xn x es siempre positivo o siempre negativo para todo n > n0 , lo que permite quitar directamente el valor absoluto y sustituirlo por la correspondiente desigualdad. Por supuesto, en estos ejercicios hay que trabajar con un valor genérico de " > 0, es decir, no está permitido considerar valores particulares de " porque se trata de probar que una cierta desigualdad esválida para todo " > 0. La verdad es que se tarda más en escribir lo anterior que en hacer el ejercicio porque las sucesiones que se dan son muy sencillas y la sugerencia muy útil. a) Tenemos que jxn ˇ ˇ 2n C 3 xj D ˇ ˇ 3n 50 ˇ ˇ ˇ 2 ˇ ˇ 109 ˇ ˇDˇ ˇ: 3 ˇ ˇ 9n 150 ˇ

El denominador es positivo para todo n > 17. Pongamos n D 17 C k donde k 2 N. Entonces jxn xj D 109 109 109 13 D < < : 9n 150 3 C 9k9k k

Deducimos que para que se tenga jxn xj < " es suficiente que tomar n D 17 C k donde k se elige de forma que 13 < ", es decir, k > 13 . Por tanto, poniendo m" D 18 C E. 13 / podemos k " " asegurar que para todo n > m" se verifica que jxn xj < ".

109 Observa que las acotaciones 3C9k < 109 < 13 no son imprescindibles; de hecho, podemos 9k k 109 despejar k de la desigualdad 3C9k < ", pero lasacotaciones hechas facilitan este paso (aunque se obtiene un valor de k mayor).

Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

2

b) Tenemos que: 0 < xn r
3

p 3 0D nC1

p p 3 nD 3 n

r
3

1 1C n

1 :

!

Pongamos zn D

1C

1 n

1. Tenemos que zn > 0 y, usando la sugerencia dada: .1 C zn /3 D 1 C 1 1 > 1 C 3zn ÷ zn 6 n 3nDeducimos que: xn D Por tanto:

p 1 1 1 1 3 n zn 6 p 6 p : 3 3 n2 3 3 n 0j D xn < " Por tanto, es suficiente tomar m" D 1 C

1 1 p < " ÷ xn < " ÷ jxn 3 3n
1 1 p 3 3 n

La desigualdad
1 E 27"3 .

< " se verifica para todo n >
1 1 p 3 3 n2 1 p 1 3 3 n

1 . 27"3

Observa que la acotación en la desigualdad valor mayor para n).
1 1 p 3 3 n2

6

no es imprescindible; de hecho,podemos despejar n

< ", pero la acotación anterior facilita este paso (aunque se obtiene un p n a. Pongamos zn D jxn 1j D p n a a n 1 > 0. Tenemos que: 1

c) Sea a > 1. Entonces 1 <

.1 C zn /n D a > 1 C nzn ÷ zn < Deducimos que: a 1

La desigualdad
E a"1 .

a 1 n

< " ÷ zn D jxn 1j < " n < " se verifica para todo n > a " 1 . Por tanto, es suficiente tomar m" D 1 C
1 a

y usando lo...