Ejercicios De Valor Máximo Y Mínimo

Valores Máximos y mínimos de una función.

Definición: Diremos que una función tiene un valor máximo absoluto en el punto si se cumple:

Definición: Diremos que una función tiene un valor mínimo absoluto en el punto si se cumple:

Definición: Diremos que una función tiene un valor máximo relativo en el punto si existe tal que se cumple:

Definición: Diremos que una función tieneun extremo relativo en el punto si es un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo.
Min. Relativo
Min. Relativo

Máx. Relativo
Máx. Absoluto
Min. Absoluto

TEOREMA: EXTREMO ESTACIONARIO
Máx. Absoluto
Si tiene un extremo relativo en el punto y existe entonces
Min. Relativo

Demostración:
Sea , consideremos un valor máximo relativo suponiendo que existe entonces existecon , tal que
Si
Luego de donde

Cuando
Luego de donde

Por lo tanto de y tenemos que

Definición: Sea una función definida en el punto decimos que es un punto crítico (número crítico) de si ó no existe.

Ejemplos:
1. Encontrar los puntos críticos de:
Solución:
Como. , luego para encontrar los puntos críticos de la función hacemos , es decir:

Por lo tantolos puntos críticos de son

2. Encontrar los puntos críticos de:
Solución:
Como. , luego los puntos críticos se encuentran cuando ó no existen .
Si valores críticos
Si no existe sin embargo no es un valor crítico, porque la función no está definida en .
Luego es un punto de discontinuidad.

TEOREMA DE ROLLE.
Sea una función tal que:
(1) Es continua en el intervalocerrado .
(2) Es diferenciable en el intervalo abierto
(3)
Entonces existe un número tal que

Interpretación Geométrica.

En algún punto de la curva sobre el intervalo abierto la recta tangente es paralela al eje

PRUEBA:
a) Si entonces es constante luego,

b) Si para algún entonces el valor máximo absoluto de la función continua en no es ni , entoncestal que es el valor máximo absoluto de en .
Pero como el valor máximo, es también un valor máximo relativo entonces, pues es un extremo.

c) Si para algún entonces el valor mínimo absoluto de la función continua en no es ni ni, esto es como el valor mínimo absoluto que también es mínimo relativo, entonces pues es un extremo relativo.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO.
Sea unafunción continua en el intervalo derivable en , entonces existe tal que:

Geométricamente.
es continua en tiene una tangente , entonces por lo menos un punto en la curva entre donde la tangente es paralela a la cuerda pues es la pendiente de la cuerda que une los puntos .
Por otro lado es la pendiente de la recta tangente en el punto .
Por lo tanto .
Observemos si entonces tenemos porel teorema de Rolle

Ejemplo:
1. Verificar si se cumple el teorema de rolle para la función
a) es continua en
b) es derivable en
c) por lo tanto cumple con el Teorema de Rolle, entonces calcularemos
para

2. Determinar el valor de que cumpla con el T.V.M para
a) es continua en
b) es derivable en
Luego tal que .
Si
Por lo tanto

3.12.3.Funciones Crecientes y Funciones Decrecientes

Definición 1: Diremos que es una función creciente en el intervalo si para todo par de números , se tiene que:


Definición 2: Diremos que es una función decreciente en el intervalo si para todo par de números , se tiene que:


TEOREMA:
Si es una función continua en el intervalo cerrado y derivable en , entonces:
1. Si es crecienteen
2. Si es decreciente en
Demostración:
1. cumple con la hipótesis del teorema del valor medio entonces tal que pero , luego pero y además existe entonces si .

es creciente en el intervalo

2. por el T.V.M, con con entre y , como con luego y además entonces luego es decreciente.

3.12.4. Criterio de la primera Derivada para extremos relativos....