ejercicios electro

1. Para las configuraciones mostradas en la figura, encuentre el potencial a
una distancia z del centro de las distribuciones de carga, usando:
dq
+φ.
4π 0 r

V (z) =

(1)

Si quiere verificarla respuesta, calcule el campo el´ctrico y confirme que:
e
Ez (z) = −

dV
.
dz

(2)

(Recuerde que φ puede ser cero).
Rta: Para la linea el potencial est´ dado por:
a
√
1
L2 + z 2 + LV (z) =
.
λ ln √
4π 0
L2 + z 2 − L

(3)

Para el disco con densidad superficial σ el potencial est´ dado por:
a
V (z) =

σ
2 0

R2 + z 2 − z

.

(4)

2. Una esfera de metal, deradio R y carga q, es rodeada por un cascar´n
o
esf´rico (cuyo grosor no es despreciable) con radio interno a y radio externo
e
b como se muestra en la figura.
(a) Calcule la densidad superficial decarga σ en R, en a, y en b.
(b) Calcule el potencial en todos los puntos del espacio en funci´n de r.
o
(Recuerde que existen varias maneras de escribir el potencial).

Rtas:

1

(a) σR =q
4πR2 ,

σa =

−q
4πa2

y σb =

q
4πb2 .

(b) Una soluci´n puede ser:
o

V (r) =









q
4π 0
q
4π 0

q
4π 0 r
q
4π 0 b
1
1
r + b
1
1
R + b

1
−a1
−a

para
r≥b
para a ≤ r ≤ b
para R ≤ r ≤ a
para R ≤ r ≤ a

(5)

(Observe que para esta soluci´n el potencial vale cero en el infinito).
o
3. Calcule la energ´ de un cascar´n esf´ricomuy delgado de carga total q y
ıa
o
e
radio R. Recuerde que la energ´ se puede calcular como:
ıa
U=

1
2

0

E 2 dV ,

(6)

donde dV = 4πr2 dr. Rta:
U=

1 1 q2
.
4π 0 2 R

(7)4. Calcule la energ´ de una esfera no met´lica, uniformemente cargada, con
ıa
a
carga total Q y radio R.
Rta:
U=

1 3 Q2
.
4π 0 5 R

(8)

5. Calcule el potencial V (r) en todos lospuntos del espacio, de un cascar´n
o
no met´lico con densidad de carga:
a
ρ=

c
,
r2

(9)

donde c es una constante. Esa densidad de carga solo existe en la regi´n
o
a ≤ r ≤ b. (Ver figura)....