Ejercicios Leyes de Kepler

Ejercicios resueltos
Bolet´ 1
ın
Leyes de Kepler y Ley de gravitaci´n universal
o

Ejercicio 1
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor.
El planeta 1 describe una ´rbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotaci´n
o
o
T1 = 2 a˜os, mientras que el planeta 2 describe una ´rbita el´
n
o
ıptica cuya distancia m´s
a
pr´xima es r1= 108 km y la m´s alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura.
o
a
¿Cu´l es el periodo de rotaci´n del planeta 2?
a
o

Soluci´n 1
o
Para un objeto que recorre una ´rbita el´
o
ıptica su distancia media al astro central
coincide con el valor del semieje mayor de la elipse.
De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es:
r=

r1 + r2108 + 1,8 · 108
=
= 1,4 · 108 km
2
2

Aplicando la tercera ley de Kepler:
2
T1
T2
= 2
3
r1
r3

Y sustituyendo:
2
22
T2
=
(108 )3
(1,4 · 108 )3

Despejando el periodo de rotaci´n del planeta 2 es: T2 = 3,3 a˜os.
o
n

Ejercicio 2
Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una ´rbita circular de
o
150 millones de kil´metros de radio.
o

Soluci´n 2o
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslaci´n de la Tierra, se
o
cumple que:
F = mT · aN
mS · mT
v2
= mT ·
r2
r
mS
G·
= v2
r
Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relaci´n con el periodo de traslaci´n, se
o
o
tiene:
4 · π 2 · r2
mS
=
G·
r
T2
4 · π 2 r3
mS =
· 2
G
T
El periodo es (tomando el a˜o como 365,25 d´
n
ıas): T = 3,156 · 107 sSustituyendo:
G·

mS =

4 · π2
(150 · 109 )3
·
= 2,01 · 1030 km
6,67 · 10−11 (3,156 · 107 )2

Ejercicio 3
La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula lo que pesar´ en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa
a
de 70 kg.

Soluci´n 3
o
Aplicando la ley de gravitaci´n universal en la superficie de la Luna, se tiene:o
PL = G ·

mL · m
(mT /81) · m
16 G · mT
16
=
·
· g0,T · m
=G·
·m=
2
2
2
RL
(RT /4)
81
RT
81

Sustituyendo:
PL =

16
· 9,8 · 70 = 135,5N
81

Ejercicio 4
Expresa en funci´n del radio de la Tierra, a qu´ distancia de la misma un objeto que
o
e
tiene una masa de 1 kg pesar´ 1 N.
a

2

Soluci´n 4
o
Aplicando la ley de gravitaci´n universal:
o
P = FT,obj = G·
r=

mT · m
r2

G · mT · m
P

Aplicando la relaci´n:
o
g0 = G ·

mT
2
RT

2
G · mT = g0 · RT , se tiene:

r=

2
g0 · RT ·

m
= RT ·
P

9,8 · 1
= 3,13 · RT
1

Ejercicio 5
Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el
movimiento de rotaci´n de la Tierra sobre s´ misma y considerando a la ´rbita de la Tierra
o
ı
o
24
8como circular. Datos: MT = 6 · 10 kg;
rorbita = 1,5 · 10 km
´

Soluci´n 5
o
La velocidad de traslaci´n de la Tierra alrededor del Sol es:
o
v=

2·π·r
2 · π · 1,5 · 108
=
= 30 km/s
t
365 · 24 · 3600

Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la ´rbita de
o
la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posici´n y el vector velocidad
ode la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular
de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ´rbita del planeta,
o
cuyo m´dulo es:
o
|L| = |r × m · v| = r · m · v · sin 90◦ = 1,5 · 1011 · 6 · 1024 · 3 · 104 = 2,7 · 1040 kg· m2 / s

Ejercicio 6
La Tierra en su perihelio est´ a una distancia de 147 millones de kil´metrosdel Sol y
a
o
lleva una velocidad de 30,3 km/s. ¿Cu´l es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista
a
152 millones de kil´metros del Sol?
o

Soluci´n 6
o
La direcci´n de la fuerza con la que act´a el Sol sobre la Tierra coincide con la direcci´n
o
u
o
del vector de posici´n de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la
o
Tierra respecto del Sol permanece...