ejercicios matematica

Universidad Nacional del Litoral
Secretaría Académica
Dirección de Articulación, Ingreso y Permanencia
Año 2014

Matemática
para el ingreso

ISBN en trámite

Unidad 5. Función cuadrática

Elena Fernández de Carrera / Gloria Elida Moretto / Lina Mónica Oviedo
Nélida Mamut de Bergesio / Liliana E. Contini / Stella M. Vaira / Liliana Taborda

En este capítulo veremos funcióncuadrática. Para ello empecemos observando algunas situaciones de la vida real. Hemos visto jugar al golf. Proponemos observar el
camino que recorre la pelota de golf, al que llamamos trayectoria.

Un esquema que representa esta situación es el siguiente:

y

x

El mismo tipo de trayectoria siguen la pelota de ping-pong cuando está en movimiento y la bala disparada por un cañón. Todas ellas separecen a un arco de parábola.

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a igual
distancia de un punto fijo F y de una recta fija d llamados foco y directriz, respectivamente.

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Matemática para el ingreso / Unidad 5. Función cuadrática

Dibujamos algunas y marcamos su foco y sudirectriz:

Las parábolas que vamos a tratar en este capítulo son las de directriz paralela al
eje de abscisas, como las que dibujamos a continuación.

Estas parábolas tienen un punto donde alcanzan un valor máximo o mínimo. Este
punto recibe el nombre de vértice de la parábola. En la figura anterior, en a) P es el
vértice de la parábola y en él alcanza su valor máximo; en b) Q es el vértice yen él
alcanza su valor mínimo; en c) R es el vértice y en él alcanza su valor máximo.
Otra característica de las parábolas es que son simétricas respecto a un eje que
contiene al vértice. En la figura anterior, el eje de simetría es la recta vertical que
pasa por el vértice.
Preguntamos ahora:
¿Cuál será la ley que corresponde a una función cuya representación gráfica es
una parábola?Responderemos la pregunta al final de este punto y la obtendremos como conclusión. Comencemos con la siguiente definición.

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Matemática para el ingreso / Unidad 5. Función cuadrática

Llamamos función cuadrática a la función
f: ℜ →ℜ, tal que
ƒ(x)=ax2+bx+c
con a∈ℜ, a≠0, b∈ℜ, c∈ℜ

Si observamos la expresión que dala ley de correspondencia de la función, el
miembro de la derecha es un polinomio de segundo grado, es decir, la función cuadrática no es más que la función polinómica de segundo grado.
Recordemos algunos ejemplos extraídos de la física en los que el modelo matemático es una expresión de este tipo.
Ejemplo 1: la expresión correspondiente a la posición de un móvil con movimiento
uniformementeacelerado está dada por:
e( t ) = e0 + v0 t +

1 2
at
2

donde v0 es la velocidad inicial, a la aceleración y e0 es la ordenada de la posición
inicial.
Ejemplo 2: si arrojamos un objeto verticalmente hacia arriba, claro ejemplo del
movimiento uniformemente retardado, la altura que alcanza se calcula usando la
expresión
h( t ) = v0t −

donde g es la aceleración de la gravedad.

1 2gt
2

Si por ejemplo, la velocidad inicial es v0 = 26 m/s al cabo de 15 segundos la altura
alcanzada es:
h(15) = 26.15 − 21 9,8.152 = −712,5 m

¿Qué significado tiene el signo negativo?
(1)

De la misma manera que hicimos con la función de primer grado en el capítulo anterior, iremos de lo particular a lo general para estudiar la función cuadrática.
La función y = x2

Si observamos ladefinición de función cuadrática dada, y=x2 es aquella para la
que a=1, b=c=0
Tratemos de graficarla.

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Matemática para el ingreso / Unidad 5. Función cuadrática

Como la variable independiente tiene exponente par, la función toma el mismo valor para valores reales opuestos. Así (-3)2 = 32, ( − 2 )2 = ( 2 )2...