Ejercicios Matematicas 2 De La Uclm

2 de la Facultad de Derecho y CC. Sociales de Ciudad Real. Ejercicios Matemáticas II parte I ——————————————————————————————————–

TEMA 1: FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES LÍMITES Y CONTINUIDAD
CONCEPTOS TOPOLÓGICOS EN R n 1- Determinar si son abiertos o cerrados los siguientes subconjuntos: a S  x, y R2 / 1  x2  y2  4 b S  x, y R 2 / xy 10 c S  x, y R 2 / 0  x  1, 0 y 1 2- Dibujar lascurvas de nivel de las siguientes funciones: a F x, y  xy b F x, y  x 2  y 2 c F x, y  x 2 y 2 d F x, y  e xy e F x, y  x 2  y 2 f F x, y  x 2 y 3- Una empresa fabrica un producto combinando dos factores productivos, capital (K) y trabajo (L), según la función de producción: Q K, L  8K  4L 2 Compra los factores en mercados competitivos a los precios P K  6 u. m y P L  3 u. m Se pide:a Dibujar la isocuanta de producción 40 unidades. b Si dispone de 24 u.m para gastar en factores, dibujar la restricción presupuestaria. c Calcular la combinación de foctores con la que fabrica 40 unidades de producto respetantdo la restricción presupuestaria.

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Facultad de Derecho y CC. Sociales de Ciudad Real. Ejercicios Matemáticas II parte I ——————————————————————————————————–TEMA 2: DERIVADA Y DIFERENCIAL DE FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
DERIVADA Y DIFERENCIAL 1- Calcular, aplicando la definición, las derivadas parciales de primer orden de la función: xy en el punto 2, 3 . f x, y  x y 2- Utilizando las reglas prácticas de la derivación parcial, estudiar las derivadas parciales de primer orden, y los gradientes de las siguientes funciones: a f x, y, z  xy xz  yz 1 c f x, y  e xy  xy xyz e f x, y, z  xyz g f x, y  x ln y  y ln x h f x, y  x e i f x, y, z  x y
y x
z

b f x, y, z  x  sen yx  ln xz d f x, y  arcsen y  1 x f f x, y  en el punto 1, 0 e, 1, 1 1, 1 1  senx
y cos y

ln x 2 e

x y

y

en el punto en el punto
yz

j f x, y, z  1  x 2 3- Dada la función f x, y 



x2 x  y2
2

xy x  y2
2

si

x,y

0, 0

0 si x, y  0, 0 Calcular las derivadas parciales en el origen.

4- Dada la función f x, y, z  x 2 2xy  z 3 Hallar: a La derivada de f en la dirección del vector v  b El gradiente de f en el punto 1, 1, 1 .

1, 3, 1 en el punto 1, 1, 2 .

5a Hallar el vector gradiente de la función f x, y  e x sen y  e y sen x en un punto arbitrario de R 2 y la derivada direccional de f enel punto 0, 0 en la dirección   b Se considera la superficie z  x 2  2y 2 . Hallar el plano tangente a la misma que sea paralelo al plano x  2y z  10. c Hallar Jf 1, 1, 1 siendo f x, y, z  x yz , ln xy , e
x z

 . 4

.

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Facultad de Derecho y CC. Sociales de Ciudad Real. Ejercicios Matemáticas II parte I ——————————————————————————————————– d Hallar Jf 1, 1 siendo f x,y, z  y arctg x , ln x , e y
x y

.

6a Hallar la diferencial en 0, 0 de la función f : R 2 f x, y  x 2  y , senx  cos y , e xy .

R 3 definida por

b Sea la función z  f x 2 y con f derivable. Demostrar que x z  2y z . x y (Tomar z  f n , n  x 2 y . c Dada la función f : R 2 R definida por f x, y, z  x 2 2xy  z 3 . Calcular: a Derivada direccional de f en el punto 1, 1, 2 segúnla dirección del vector 1, 3, 1 . b Diferencial de f en el punto 1, 1, 2 . c ¿En qué dirección es máxima la derivada direccional? d ¿Cúal es el valor máximo de la derivada direccional? d Dada la función f x, y, z  ax 2  byz  cz 2 . Calcular a, b, y c para que la derivada direcciónal de f en el punto 1, 1, 1 valga el valor máximo 5 en la dirección paralela al eje z. 7a Sea f : R 2 Sea h  gof .R 2 con f 0, 0  1, 1 y g : R 2 1 1 2 3 R con g x, y  x 2  y. entonces h 0, 0  4 y h 0, 0  5. x y

Si la matriz de la función f en 0, 0 es ¿Es afirmativo el enunciado propuesto?

b Si f x, y  x  y , x y y g : R 2 R. Supongamos que g 1, 1  2 y sea h  gof. y La matriz Jacobiana de h en el punto 1, 0 es 3, 1 . ¿Es afirmativo? 8- Calcular las siguiente derivadas: z t siendo z  e 3x2y ;...