EJERCICIOS MATEMATICAS 2


Ejercicio 6
Primera parte
1. Reúnanse en parejas. Recuerden utilizar un medio de comunicación eficaz, como Skype, Google Docs o algún chat.
2. Lean el siguiente problema:

Es famoso el problema que Gauss resolvió con un par de multiplicaciones, cuando su maestro le pidió sumar del uno al cien.  El gran niño-matemático se dio cuenta que toda la suma se daba como dos productos: el número finalde la serie por el número siguiente divididos entre dos.
1. Demuestren inductivamente que esto sucede en los primeros diez números.

Es decir:

1+2 = 3 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual a 3).
1+2+3=6 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual a 6).
1+2+3+4= 10
1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = ¿?
1. Observen lo siguiente: 

Imaginen que queremos sumar del 1 al 10 y a esta suma la simbolizamos simplemente como “S”.
Entonces:
1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S
Esto mismo podemos hacerlo al revés:
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S

Si sumamos las dos series observamos que cada par de la serie suma la misma constante (11) diez veces, y todo esto será igual a 2S.Para entender esto, observen la siguiente suma término a término: 
1   +  2 +  3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10   =   S
10 +  9 +  8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1     =   S
11 + 11+11+11+11+11+11+11+11+11 =  2S
2. Expresen S de la siguiente manera: 

3. Demuestren que:

4. Cada integrante del equipo intentará resolverlo.
5. Intercambien sus soluciones.
6. Compartan con los demás equipos lassoluciones a las que llegaron. Utilicen el foro de la actividad.
Segunda parte
1. Resuelvan en equipo el siguiente problema:
¿Cuántos saludos se dan en un grupo de 20 personas? 
1. Por medio de un diagrama, expliquen cómo se van  generando los primeros 6 números de la serie.  
Por ejemplo:

Con dos personas (un saludo)

Con tres personas (tres saludos)

2.  Descubran la regla general y calculen elnúmero de saludos cuando hay 20 personas.
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Ejercicio 7
Primera parte
3. Reúnanse en parejas. Recuerden utilizar un medio de comunicación eficaz, como Skype, Google Docs o algún chat.
4. Lean el siguiente problema:

“En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual a…” Si escuchan esta frase, probablemente lamayoría de ustedes serán capaces de contestar “el cuadrado de la hipotenusa”. Esto lo aprendieron desde la secundaria, pero para muchos tal vez se les quedó solo una fórmula en la cabeza, y nunca supieron por qué es cierta. Ahora, por razonamiento deductivo, serán capaces de demostrarlo.

Este es un triángulo rectángulo con sus catetos y su hipotenusa.  En ellos debe cumplirse, según Pitágoras,que a2 + b2 = c2


Esto puede arreglarse de la siguiente manera:


5. En el diagrama anterior coloquen las letras “a”, “b” y “c” en todas las letras correspondientes. 
6. Encuentren una manera de probar que a2 + b2 = c2.
7. Cada integrante del equipo intente resolverlo.
8. Intercambien ideas.
Segunda parte
1.  Lean el siguiente problema:

Hemos explicado que el área de un triángulo rectánguloes un medio del producto de la base por la altura. Pero no sucede esto solamente para un triángulo rectángulo, sucede para todos los triángulos.  ¿Cómo podemos demostrarlo? 

En un triángulo cualquiera.


2. Dibujen la siguiente figura.


Observen que:
[Área total] = [Área triángulo (azul)] + [Área del triángulo rectángulo grande] + [Área del triángulo rectángulo pequeño]
1. Demuestren que elárea del triángulo azul es igual a un medio del producto de la base por la altura. 
2. Intenten resolver el problema de manera individual, al final compartan sus resultados con su equipo.
3. Cuando hayan llegado a una solución conjunta, compartan con los demás equipos cuál fue el proceso que siguieron, utilicen el foro de la actividad.
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