Ejercicios Modelos Funcionales

ESCUELA DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO I
FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

1.

Una caja abierta se va a construir a
partir de una pieza cuadrada de
material, de 24 pulgadas de lado,
cortando cuadrados iguales a partir
de las esquinas y doblando los
bordes. Exprese el volumen de la
caja así formada en función del lado
x del cuadrado recortado.Rta.

V = 4 x 3 − 96 x 2 + 576 x

2.

Sea P el producto de dos enteros. Si la suma del primero con el duplo del segundo es

100 , exprese P en función de cada uno de los números. Rta. P = 50 x −
3.

x2
2

Sea S la suma de dos enteros. Si uno de ellos es el recíproco del otro, exprese la
suma S en función de cada uno de ellos. Rta. S =

1 + y2
y

4. Un granjero planea cercar unpastizal rectangular adyacente a un río. El pastizal debe
contener 180000 m 2 para proporcionar suficiente pastura para el rebaño. Exprese la
longitud total del cercado en función del largo, si se sabe que no es necesario vallar a lo
largo del río. Rta. L = x +

360000
x

5. Un ganadero tiene 200 pies de
cercado con los cuales delimita
dos
corrales
rectangulares
adyacentes. Exprese elárea de
los dos corrales en función del
largo x. Rta. A =

8
( 50 x − x 2 )
3

1

6. Exprese el volumen de un sólido rectangular (con base cuadrada) en función del lado x

V = 84,375 x −

2

de la base, si su área superficial total es de 337,5cm . Rta.

1 3
x
2

7. Una ventana normanda se construye
juntando un semicírculo a la parte
superior de una ventana rectangularordinaria. Exprese el área de la ventana
en función del lado x , si se sabe que su
perímetro total es de 16 pies . Rta.
గ
଼

ଵ
ଶ

8‫ ݔ‬െ ቀ ൅ ቁ ‫ ݔ‬ଶ

8. Un rectángulo está cortado por los ejes x y y y la

6− x
. Exprese el área del rectángulo en
2
x2
función de x . Rta. A = 3 x −
2

gráfica de y =

9. Un triángulo rectángulo se forma en el primer cuadrante mediante los ejes x y yy una
recta que pasa por el punto (1, 2 ) . Escriba la longitud L de la hipotenusa en función de
2

x.

Exprese también su área en función de x .

A= x+

x
x −1

2

Rta.

2 

L = x + 4+2+
 ,
x −1 

2

10. Un triángulo isósceles se inscribe en una circunferencia de radio 4 . Exprese el área en
función de h y luego en función de α . Rta. A = 16 − h 2 ( h + 4 ) , A =64 cos 4 α tan α

11. Un rectángulo está delimitado por el eje x y la
semicircunferencia y = 25 − x 2 . Exprese el área
en función de su largo x . Rta. A = 2 x 25 − x 2

12. Un rectángulo se inscribe en un círculo de radio R. Halle su área en función de su largo

x. Rta. A = 2 x R 2 − x 2
13. Una página rectangular contendrá 30 pulgadas cuadradas de texto impreso. Los
márgenes de cadalado son de 1 pulgada. Encuentre el área de la página en función del

 30

+ 2
 x


largo x de texto impreso. Rta. A = ( x + 2 ) 

14. Una página rectangular contendrá 36 pulgadas cuadradas de área impresa.

Los

1
pulgadas. Encuentre el área de la página en
2
 36

función del largo x de texto impreso. Rta. A = ( x + 3) 
+ 3
 x

márgenes de cada lado serán de 115. Un paquete rectangular que se va a enviar por un
servicio postal puede tener una longitud y un
perímetro que tiene un máximo de 108 pulgadas.
Determine el volumen en función de su arista x.
Rta. V = 108 x 2 − 4 x 3

3

16. Resuelva el ejercicio anterior, pero ahora para un paquete cilíndrico.

Rta.

2

V = π r (108 − 2π r )
17. Un cono circular recto se inscribe en una esferade radio R . Encuentre su volumen en

1
3

(

función de su radio x. Rta. V = π x 2 R + R 2 − x 2

)

18. Un cilindro circular recto se inscribe en una esfera
de radio R. Encuentre el volumen en función de
su radio x. Rta. V = 2π x 2 R 2 − x 2

19. Un cono circular recto de radio r se inscribe en otro cono circular recto invertido de
altura H y radio R. Encuentre el volumen del...