Ejercicios rsueltos 39 pág 1
























Ejercicios resueltos

Análisis de circuitos en AC


Elaborados por
César C. D’León S. Colaboración: Eduardo Fernando Serrano





ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Y ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD DE LA SALLE BAJÍO
I.- Voltaje y Corriente Alterna

1.1 Introducción
• Un Voltaje o corriente en AC varían senoidalmente con el tiempo
• Estecomportamiento es periódico
• La parte más pequeña de la forma de onda periódica que no se repite es un ciclo
• La duración del ciclo es el periodo T de la onda
• El inverso del periodo es la frecuencia
f = 1
T
• La unidad de frecuencia en el SI es el Hertz [Hz]
• La frecuencia f y la frecuencia en radianes se relacionan por la siguiente expresión
ω = 2πf [rad ]
•Unidades
1rad = 360° = 180° = 57.3°
2πf π




• Para un ciclo de voltaje
θ [rad ] = π xθ [°]
180°
θ [°] = 180° xθ [rad ]
π
v = Vmsen(377t + θ )

Donde:

Vm = Voltaje pico o amplitud
ω = 377 rad
s
= 60Hz
T = 1 = 16.7ms = 2π
60 ω
θ = Angulo de Fase
• Identidades Importantes


Sen(− x) = −Sen( x) Sen( x − 90) = −Cos( x) Sen( x ± 180) = −Sen( x)

Cos
( x) = 1 +Cos2 x
2




Cos(− x) = Cos( x) Cos( x + 90°) = −Sen( x) Cos( x ± 180) = −Cos( x)
Sen( x + y) = senx cos y + seny cos x
Sen( x + 90°) = Cos( x)
Cos( x − 90) = Sen( x
)
1.2 Relaciones de fase
Sean las funciones
V 1 = 20Sen377t
y V 2 = 20Sen(377t + 30°)
como están en la misma
frecuencia, tienen relaciones de fase en la que se involucra la diferencia angular de los argumentos de lossinusoides. A esta se le llama diferencia de fase, en este caso se dice que V1 esta adelantado 30° a V2.

Bajo estas condiciones se dice que una onda cosenoidal se adelanta 90° a una onda senoidal de la misma frecuencia

Cuando las sinusoides tienen una diferencia de fase de 0°, se dice que están en fase.

La diferencia de fase entre dos sinusoides puede encontrarse al restar el ángulo de fase de una deellas, al de la otra ambas son seno y coseno y sus amplitudes tienen el mismo signo además deben tener la misma frecuencia.

1.3 Valor Promedio
En algunos casos se utiliza un valor promedio Vp = 2 = 0.137Vm
π
Sin embargo cuando el eje de tiempo divide a la onda senoidal exactamente en dos el Vp = 0

Respuesta senoidal de una resistencia.-
Si una resistencia R tiene un voltaje Vmsen(ωt + θ ) através de el
i = v
R
= Vm sen(ωt + θ ) , donde
R
Vm = Im
R
Obsérvese que la corriente esta en fase con el voltaje.

La potencia instantánea disipada por una resistencia varía en el tiempo, porque el voltaje y la corriente instantánea varían en el tiempo así...
p = vi = [Vmsen(ωt + θ )][Im sen(ωt + θ )]
p = Vm Im sen 2 (ωt + θ ) , donde VmIm = Pm (potencia pico),
donde la Pm ocurre siempre quesen(ωt + θ ) = ±1
De sen 2 x =
1 − cos 2 x
2

p = Vm Im − Vm Im cos(2ωt + 2θ ) , como la potencia siempre >0 , R jamás aporta potencia,
2
la potencia promedio Pp =
2
Vm Im
2

V 2 m
= =
2π

Im 2 R
2

1.4 Valor Eficaz o RMS (Raíz Cuadrática Media)

El valor eficaz de un voltaje o corriente periódicas se define como

Vef
= Vm = 0.707Vm , Ief
2
= Im = 0.707 Im
2

1.5 Respuestasenoidal de un circuito
Si por un inductor L circula una corriente i = Im sen(ωt + θ ) , el voltaje será
v = L di = L d [Im sen(ξt + θ )] = ωL Im cos(ξt + θ )
dt dt

Donde

ωL Im = Vm , Im = Vm
ωL
ωL es la Reactancia Inductiva XL

Al comparar el término voltaje
Así, XL= ωL
Vm cos Vm
ωL R
se observa que ωL limita la corriente mientras que R limita e
l
Nota:
Cuando f = 0 Hz , XL = 0 ∴se comporta como un cortocircuito
Cuando f = ∞ , XL = ∞ ∴ se comporta como un corto abierto
Al observar v e i en un inductor, puede observarse que v se adelanta 90°


La potencia instantánea
p = vi = [Vm cos(ωt + θ )][Im sen(ωt + θ )]
p = Vm Im cos(ωt + θ )sen(ωt + θ ) = Vm Im sen(2ωt + 2θ )
2
∴ p = VefIefsen(2ωt + 2θ )


Nota:

Cuando p>0, L consume energía
Cuando p<0, L regresa energía


1.6...