EjerciciosadicionalescalculoII

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

EJERCICIOS ADICIONALES
(C´alculo II, PLEV 2014)
1. Encontrar una funci´
on f y un valor c ∈R tales que para todo x ∈ R:
x

f (t)dt = cos(x) −
c

1
2

2. Para todo x ∈ R, demuestre la siguiente equivalencia l´ogica:
x

t2 f (t)dt = 2f (x) − 4

⇔

f (x)= −2

0

3. Utilizando un criterio de convergencia decida si las siguientes integrales impropias convergen o divergen:
∞

(a)
1

2 + sin(x)
dx.
x2 + 1

∞

√

(b)2

+∞

(c)

1
dx
x ln(x)
2

e−x dx

0

4. Considere la siguiente funci´
on:
1+x2

F (x) =
1

1 − ln(t)
dt
t2

(a) ¿Es F continua en su dominio?, argumente.
(b)¿Es F derivable en su dominio?, en caso de serlo defina a F .
(c) Encuentre una asintota horizontal de la gr´afica de F .
(d) Analice la convergencia de la integral∞
0

1 − ln(t)
dt
t2

5. Encontrar el ´
area de la regi´
on delimitada por la curva y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos
de intersecci´
on con eleje X.
6. Sea D la regi´
on acotada por la par´
abola de ecuaci´on y = x − x2 y el eje X.
(a) Encontrar la pendiente de la recta que pasa por el origen y que dividela regi´on D en dos regiones
de igual ´
area.
(b) Calcular el volumen del s´
olido generado por la regi´on acotada por la par´abola y la recta obtenidaanteriormente, al girar alrededor del eje Y .
7. Hallar el ´area de la regi´
on del plano limitada por las curvas de ecuaciones y = ln(x), y = 2 y los ejes
coordenados.
8.Una esfera de radio r se corta por un plano formando un casquete esf´erico de altura h. Encuentre el
volumen del casquete en funci´
on de la altura de este.