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Matemáticas IV

SESIÓN 5
LÍMITES DE FUNCIONES ESPECIALES Y LA DERIVADA.
I. CONTENIDOS:
1. Límites en el infinito
2. Formas indeterminadas de límites del tipo (

0
)
0

3. Dos límites especiales

4. El límite de
5.
6.
7.
8.

senx
= 1 cuando x0
x

El número e
Derivación
Ejercicios resueltosEstrategias Centradas en el Aprendizaje: Ejercicios propuestos

II. OBJETIVOS:
Al término de la Clase, el alumno:
 Conocerá la existencia de otro tipo de límites.
 Comprenderá el concepto de derivada
III. PROBLEMATIZACIÓN:
Comenta las preguntas con tu Asesor y selecciona las ideas más significativas.
 ¿Cómo se conceptualiza una cantidad infinita?
 ¿Por qué es tan importante el número“e” en matemáticas?
IV. TEXTO INFORMATIVO-FORMATIVO:
1.1. Límites en el infinito
Al calcular límites infinitos, hacemos tender a “x” a un número y el resultado es que los valores de
la función “y” o f(x) tome valores positivos o negativos muy grandes. Geométricamente esto se
puede ilustrar mediante la recta asíntota a una hipérbola, ya que puede darse el caso de que al
asignarle un valor a“x” la recta asíntota se fugue el infinito.
Para evaluar un límite en el infinito de una función racional, se dividen el numerador y el
denominador entre la mayor potencia de “x” que se encuentre en el denominador, suponemos que
x≠0
2.1. Formas indeterminadas de límites del tipo (

0
)
0

Al calcular el límite de un cociente se pueden dar las siguientes situaciones
a). Si el numerador yel denominador tienen límite distinto de cero, el límite del cociente es igual al
cociente de lo límites.
b). Si el límite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero el límite del
cociente es igual a cero
c). Si el límite del numerador es diferente de cero y el del denominador es cero, el cociente no tiene
límite y se entiende que tiende a más o menos infinito (±∞).

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d). Si los límites del numerador y del denominador son cero, entonces el límite se indetermina, la
indeterminación se puede eliminar haciendo uso de operaciones algebraicas sencillas como una
factorización.
3.1. Dos límites especiales

El límite de

senx
x

cuando x→0 es igual a 1, esdecir, Lim

senx
=1
x

x0
Uno de los límites más importantes es aquel que se define por la función

Lim (1 + x)
x0

1
x

= 2.71828….......

A este límite se le conoce como el numero “e”, otra forma equivalente de escribir este límite es:
x
(1+1/x) cuando x∞
Este límite se representa por la letra e, dicha letra fue elegida en honor al físico y matemático
suizo Leonhard Euler(1707- 1783). Este es un número irracional infinito, puede expresarse con
tantos decimales como queramos. Existen varios métodos para la obtención de este número que
además sirve como base de los logaritmos naturales, este número ha demostrado una gran utilidad
en prácticamente todas las ramas de las matemáticas y las ciencias aplicadas. Ninguna otra
constante matemática, ni siquiera π, estatan relacionada a las actividades humanas. Esa
constante tiene enormes aplicaciones en ingeniería, economía, finanzas, estadística, probabilidad,
biología, química, etc. esto nos da una idea de la trascendencia de su descubrimiento, se podría
decir que gracias a este número las matemáticas han alcanzado un gran avance.
La demostración rigurosa que estos límites existen queda fuera de lospropósitos de este curso,
por lo que lo aceptaremos como una definición
4.1. Derivación
En esta parte de nuestro estudio investigaremos acerca de la forma d e cómo varía una función al
hacer variar su variable independiente. El problema fundamental del Cálculo diferencial es el
de definir con toda precisión una cuantificación de esta variación. Newton, al investigar
acerca de cantidades que...