El copo de nieve de von koch
Páginas: 9 (2235 palabras)
Publicado: 17 de noviembre de 2011
TRABAJO PRÁCTICO: “El copo de nieve de Von Koch”
LA GEOMETRÍA FRACTAL
El concepto de fractal fue introducida en 1980 por Benoit B. Mandelbrot, matemático polaco, nacido en Varsovia en 1924. La palabra fractal proviene del adjetivo latino “fractus”, que significa interrumpido o irregular.
Mandelbrot nos introdujo a la Geometría fractal de la naturaleza. Esta geometría es un nuevolenguaje. Así como los elementos de la geometría Euclideana son puntos, rectas, etc.; los elementos de la geometría fractal escapan a la percepción directa. Ello se debe a que son algoritmos que sólo computacionalmente pueden expresarse en formas y estructuras. Mandelbrot comunicó que muchas estructuras naturales, con una aparente complejidad (por ejemplo: nubes, montañas, costas, fallas tectónicas,sistemas vasculares, superficies fracturadas de materiales) están caracterizadas por una invariancia de escala geométrica.
DEFINICIÓN DE FRACTAL
Mandelbrot definió un fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
La dimensión topológica corresponde al sentido habitual de la dimensión y es un número entero: vale cero para el punto, unopara la recta, dos para un plano y tres para un cuerpo en el espacio. La dimensión topológica es invariante ante homeomorfismos (aplicación de f biyectiva tal que tanto f como su inversa son continuas). En cambio, la dimensión de Hausdorff está definida para cualquier subconjunto de R pero no es invariante ante homeomorfismos.
Entonces, un objeto es fractal solo cuando su dimensión fractal es mayorque su dimensión euclídeas: D>DE
DIMENSIÓN FRACTAL
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: Cuando se quiere medir una líneafractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea.
Como la longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longituden estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una línea fractal llena una porción de plano. Y que además sea una generalización de la dimensión Euclídea.
Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y unaesfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano).
Como precedente a la dimensión fractal nos encontramos con la dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, perfeccionada más tarde por Besicovitch. La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud Lque hacen falta para cubrir X por L.
La dimensión fractal, D, como veremos es una generalización de la dimensión euclidea, DE. Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que
N(L).L^1 = 1
cualquiera que sea L:
[pic]
Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas,cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple
N(L).L^2 = 1
cualquiera que sea L:
[pic]
Si, por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como, por ejemplo, un cubo de volumen 1, y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple que
N(L).L^3 = 1
Cualquiera que sea L:
[pic]
De todo esto...
LA GEOMETRÍA FRACTAL
El concepto de fractal fue introducida en 1980 por Benoit B. Mandelbrot, matemático polaco, nacido en Varsovia en 1924. La palabra fractal proviene del adjetivo latino “fractus”, que significa interrumpido o irregular.
Mandelbrot nos introdujo a la Geometría fractal de la naturaleza. Esta geometría es un nuevolenguaje. Así como los elementos de la geometría Euclideana son puntos, rectas, etc.; los elementos de la geometría fractal escapan a la percepción directa. Ello se debe a que son algoritmos que sólo computacionalmente pueden expresarse en formas y estructuras. Mandelbrot comunicó que muchas estructuras naturales, con una aparente complejidad (por ejemplo: nubes, montañas, costas, fallas tectónicas,sistemas vasculares, superficies fracturadas de materiales) están caracterizadas por una invariancia de escala geométrica.
DEFINICIÓN DE FRACTAL
Mandelbrot definió un fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
La dimensión topológica corresponde al sentido habitual de la dimensión y es un número entero: vale cero para el punto, unopara la recta, dos para un plano y tres para un cuerpo en el espacio. La dimensión topológica es invariante ante homeomorfismos (aplicación de f biyectiva tal que tanto f como su inversa son continuas). En cambio, la dimensión de Hausdorff está definida para cualquier subconjunto de R pero no es invariante ante homeomorfismos.
Entonces, un objeto es fractal solo cuando su dimensión fractal es mayorque su dimensión euclídeas: D>DE
DIMENSIÓN FRACTAL
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: Cuando se quiere medir una líneafractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea.
Como la longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longituden estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una línea fractal llena una porción de plano. Y que además sea una generalización de la dimensión Euclídea.
Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y unaesfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano).
Como precedente a la dimensión fractal nos encontramos con la dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, perfeccionada más tarde por Besicovitch. La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud Lque hacen falta para cubrir X por L.
La dimensión fractal, D, como veremos es una generalización de la dimensión euclidea, DE. Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que
N(L).L^1 = 1
cualquiera que sea L:
[pic]
Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas,cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple
N(L).L^2 = 1
cualquiera que sea L:
[pic]
Si, por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como, por ejemplo, un cubo de volumen 1, y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple que
N(L).L^3 = 1
Cualquiera que sea L:
[pic]
De todo esto...
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