El Factorial Para Todo Entero Positivo N

El factorial para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también como

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manerafundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo suspropiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático
Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones[nota 1] son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usarotras definiciones equivalentes.
Definición combinatoria


, pues hay 10 formas de escoger (en rojo) 3 objetos a partir de un conjunto con 5 elementos
Se tiene un conjunto con 6 objetos diferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se desea escoger 2 (sin importar el orden de elección). Existen 15 formas de efectuar tal elección:
A,B
A,C
A,D
A,E
A,F

B,C
B,D
B,E
B,F


C,D
C,E
C,F



D,E
D,F




E,F
Elnúmero de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias formas:[nota 2] , , , o . Así, en el ejemplo anterior se tiene entonces que C(6,2)=15, puesto que hay 15 formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con 6 elementos.
Los números C(n,k) se conocen como «coeficientes binomiales», pero es frecuente referirse a ellos como «combinaciones de n en k», osimplemente «n en k». Por tanto, la primera definición es:
El teorema de binomio y coeficientes binomiales
Finalmente, existe una tercera forma de definir los coeficientes binomiales, la cual da origen a su nombre. Sin embargo, esta definición obscurece el significado combinatorio de los números, pues la equivalencia con las definiciones anteriores no es evidente.

El coeficiente binomial es elcoeficiente del término obtenido al desarrollar
Por ejemplo, si desarrollamos (x+y)5 obtenemos:
,
por tanto, al ser 10 el coeficiente de x³y², concluimos que C(5,3)=10.


Desarrollo de (x+y)³
La afirmación de que esta definición es equivalente a las anteriores se conoce como teorema binomial o teorema de Newton, quien dio una prueba de una versión general del resultado. Sin embargo, la forma decalcular los coeficientes era conocida por diversas culturas con muchos siglos de anticipación.
Para ilustrar la equivalencia entre esta definición y la anterior, consideremos un ejemplo con n=3, k=2. Podemos pensar que los factores de (x+y)³=(x+y)(x+y)(x+y) están coloreados de azul, rojo y verde respectivamente.
Por un lado, se sabe que (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³, por lo que el coeficiente de x²y es3. Por otro lado, al desarrollar los factores, aparecerá un término x²y cada vez que se elija dos colores para x (dejando el color restante para y). El número de formas de escoger 2 colores entre 3 posibles opciones es precisamente C(3,2), como se estableció con anterioridad. La conclusión es que el coeficiente de x²y es necesariamente C(3,2).
Para el caso general, se puede imaginar que los nfactores de (x+y)n han sido coloreados con diferentes colores, por lo que el coeficiente de xkyn-k será igual al número de formas de escoger k colores para asignarlos a la variable x (dejando los n-k colores restantes para y). El número de formas para escoger k colores entre n posibles opciones es C(n,k), con lo que se termina la prueba.

Principio básico de conteo
El principio básico o fundamental...