El Jefe Iba Descalzo

Cap´tulo 7 ı

´ ´ INTRODUCCION Y METODOS ´ GENERALES DE RESOLUCION DE EDOS

Problema 7.1. Halla la ecuaci´ n diferencial que satisfacen las siguientes familias de curvas: o (a) las cardioides r = a(1 − cos θ),

(b) las rectas que pasan por el punto (0, 1), (c) las par´ bolas de ecuaci´ n y = cx + x2 , a o (d) las rectas y = cx + c2 , √ (e) las rectas y = cx + 1 − c2 ,

(f) las curvas deecuaci´ n y = (1 + ce2x )/(1 − ce2x ). o

Soluci´ n: (a) Derivando la ecuaci´ n respecto de θ obtenemos o o r′ = a sen θ. Como a= r , 1 − cos θ

sustituida en la ecuaci´ n de la derivada se obtiene o r′ = r 2 sen(θ/2) cos(θ/2) sen θ =r 1 − cos θ 2 sen2 (θ/2) =⇒ r′ = r cotan(θ/2).

(b) La ecuaci´ n de una recta que pasa por (0, 1) es y = mx + 1. Derivando esta ecuaci´ n con respecto a x o o seobtiene y ′ = m. Como m = (y − 1)/x, y′ = y−1 . x

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(c) Derivamos la ecuaci´ n respecto a x y obtenemos o y ′ = c + 2x. Como y − x2 , x sustituyendo en la ecuaci´ n de la derivada se obtiene o c= y′ = y − x2 + 2x x =⇒ y′ = y + x2 . x

(d) Derivamos la ecuaci´ n respecto a x y obtenemos o y ′ = c. Como de la ecuaci´ n seobtiene o c=− sustituyendo en la ecuaci´ n de la derivada o y′ = − x ± 2 x2 +y 2 =⇒ y′ + x 2
2

x ± 2

x2 + y, 2 x2 + y. 2

=

(e) Derivamos la ecuaci´ n respecto a x y obtenemos o y ′ = c, de donde y = y′x + (f) Derivamos la ecuaci´ n respecto a x y obtenemos o y′ = 2ce2x (1 − ce2x ) + 2ce2x (1 + ce2x ) 4ce2x = . (1 − ce2x )2 (1 − ce2x )2 y − 1 = (y + 1)ce2x ce2x = y−1 , y+1 1 − (y ′ )2.

Como de la ecuaci´ n original o y − yce2x = 1 + ce2x =⇒ =⇒

sustituyendo en la ecuaci´ n de la derivada, o y =
′ y−1 4 y+1

1−

y−1 y+1

2

=⇒

y ′ = y 2 − 1.

Problema 7.2. Halla las familias de curvas ortogonales a las siguientes familias: (a) y = cx2 , (b) cx2 + y 2 = 1, (c) y = ce−x , (d) y 2 = cx3 , (e) senh y = cx, (f) y = x/(1 + cx), (h) x1/3 + y 1/3 = c. (g) y = 1/ln(cx),

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Soluci´ n: (a) Para hallar la ecuaci´ n de la familia de curvas derivamos la ecuaci´ n que la define y obteneo o o mos y ′ = 2cx, y como c = y/x2 , 2y y′ = . x Por lo tanto, la ecuaci´ n de la familia ortogonal es o y′ = − de la que se sigue que x2 x2 +k =⇒ + y 2 = k, k ≥ 0, 2 2 √ √ que es la ecuaci´ n de una elipse desemiejes 2k y k en las direcciones X e Y , respectivamente (si o k = 0 la ecuaci´ n representa un punto). o 2yy ′ = −x =⇒ y2 = − (b) Para hallar la ecuaci´ n de la familia de curvas derivamos la ecuaci´ n que la define y obtenemos cx + o o ′ = 0, es decir yy cx y′ = − , y y como c = (1 − y 2 )/x2 , y′ = y2 − 1 . xy xy , 1 − y2 x , 2y

Por lo tanto, la ecuaci´ n de la familia ortogonal es o y′ =de la que se sigue que y′ − yy ′ = x y =⇒ ln |y| − y2 x2 k = + 2 2 2 =⇒ ln(y 2 ) − y 2 = x2 + k.

(c) Para hallar la ecuaci´ n de la familia de curvas derivamos la ecuaci´ n que la define y obtenemos y ′ = o o −ce−x = −y. Por lo tanto, la ecuaci´ n de la familia ortogonal es o y′ = de la que se sigue que yy ′ = 1 =⇒ y 2 = 2x + k, que son par´ bolas tumbadas abiertas hacia la derecha. a (d) Parahallar la ecuaci´ n de la familia de curvas derivamos la ecuaci´ n que la define y obtenemos 2yy ′ = o o 3cx2 . Como c = y 2 /x3 , 3y 2 3y 2yy ′ = =⇒ y′ = . x 2x Por lo tanto, la ecuaci´ n de la familia ortogonal es o y′ = − 2x , 3y 1 , y

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´ ´ ´ 7 INTRODUCCION Y METODOS GENERALES DE RESOLUCION DE EDOS de la que se sigue que 3yy ′ = −2x =⇒ 3k 3 2 y = −x2 + 2 2 3k/2 y √ =⇒ 2 2 x + y 2 = k, 3k ≥ 0,

que es la ecuaci´ n de una elipse de semiejes o (si k = 0 la ecuaci´ n representa un punto). o

k en las direcciones X e Y , respectivamente

(e) Para hallar la ecuaci´ n de la familia de curvas derivamos la ecuaci´ n que la define y obtenemos y ′ cosh y = o o c. Como c = senh y/x, tanh y . y′ = x Por lo tanto, la ecuaci´ n de la familia ortogonal es o y′ = − de la que se sigue que...