El Origen De Las Cosas

Polinomios

POLINOMIOS
OLINOMIOS
Alguna vez en la escuela media, en clases de Física, hemos visto expresiones tales como
st = v t + s0 que representa la relación posición (s) de un móvil, que se desplaza en movimiento
rectilíneo uniforme, en función del tiempo (t). O del movimiento uniformemente variado, donde la
expresión utilizada es st = s0 + v0 t + 1/2 a t2.
En Economía, sueleutilizarse expresiones como C = 600x2 + 320x +150 que representa, por
ejemplo, el costo total de construir un depósito de materiales.
Es necesario, entonces estudiar las expresiones de la forma:
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
←
que llamaremos polinomios, donde los a0, a1, a2, ..., an se llaman coeficientes y son números reales
o complejos (nosotros sólo trabajaremos con reales); x es lavariable o indeterminada y los
exponentes de la variable x son todos enteros no negativos.
Actividad nº1
Indique cuáles de estas expresiones son polinomios reales (con coeficientes reales)
1
a) x 2
b) 3x 2 − 5x 3 + 4
c) 5x −1 + x4
5
1
d) 3 sen (2x)
e) 4πx 4 + 2πx 2 + π
f) 7x
g) −10

h) 2 x − 3 x + 4 x

i) 3 x − 4 x + x 4

Al conjunto de todos los polinomios en la variable x concoeficientes reales lo simbolizaremos
ℜ[x].
Ya dijimos que en ← , los a0, a1, a2, ..., an son los coeficientes. El coeficiente a0 es el término
independiente. El coeficiente an es el coeficiente principal, si an ≠ 0.
Si si an ≠ 0, diremos que n es el grado de P(x).
Por ejemplo, en P( x ) = 5x 3 − 2 x + 4 el grado es 3; Q( x ) = 4 − x es de grado 1;

V( x ) = 3x 2 − 6 x 7 + 4x es de grado 7 yS(x) = 23 es de grado 0.
El polinomio nulo es aquél donde todos los coeficientes son 0. El polinomio nulo no tiene grado.
Según el número de términos con coeficientes no nulos, el polinomio se llama monomio, binomio,
trinomio, ... En el ejemplo precedente, S(x) es un monomio, Q(x) es binomio, P(x) y V(x) son
trinomios.

Actividad nº2
Ejemplifique: a) binomio de tercer grado
b) monomio dequinto grado
c) trinomio de cuarto grado
d) monomio de grado cero

Polinomios

Definición:

Dados dos polinomios P y Q decimos que son iguales si y sólo si los coeficientes de los
términos de igual grado son iguales.
Por ejemplo 3 − x 3 + 7x 4 – 4x 5 = 3 + 0x + 0x 2 − x 3 + 7x 4 – 4x 5 . Al polinomio del segundo
miembro se lo llama completo, porque siendo de grado 5, se escriben todoslos términos de grado
igual o menor que 5 colocando coeficiente 0 en los términos que faltan.
Actividad Nº3
Determinar los valores de m, n, r y s para que T(x) = G(x)
1
4
a) T(x) = 3 − 5x + 2 x 2 − x 5
G(x) = m + ( −2n − m) x + (s + r ) x 2 + r x 3 + (n − s) x 5
2
3
b) T(x) = − 3 2 x + 7 2 x 2 − 4 2 x 3 + 8x 4

G(x) = − 3mx + (n + r ) x 2 + (m − r + s) x 3 + n 2 x 4

Operaciones conPolinomios
Veremos las operaciones con polinomios y las propiedades que éstas verifican.

Adición
La suma del polinomio M(x) = m0 + m1 x + m2 x2 + ... + mn-1 x n-1 + mn x n y el polinomio
B(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 x n-1 + bn x n + ... + bm x m donde n ≤ m, es el polinomio:
M(x) + B(x) = (m0 + b0) + (m1 + b1) x + (m2 +b2) x2 + ... + (mn-1 + bn-1) x n-1 + (mn +bn) x n + ...
... + bmxm
Ejemplo:
1
M(x) = 3 − 5x + 2 x 2 − x 5
B(x) = 3 − x + 7x 4 – 4x 5
2
M(x) + B(x) = (3 + 3) + (−5 −1)x + (2 + 0) x2 + (0 + 7)x4 + (−1/2 − 4)x5

M(x) + B(x) = 6 −6x + 2x2 + 7x4 −9/2 x5
En la práctica puede adoptarse esta disposición en la que se encolumnan los términos de igual grado
(llamados términos semejantes)
1
3 − 5x + 2 x 2
− x5
2
+
+ 7 x 4 − 4x 5

3−x
6 − 6x

+ 2x 2+ 7x 4 −

95
x
2

Polinomios

Para poder enunciar alguna conclusión sobre el grado del polinomio suma sugerimos que, siendo
A(x) = 1 − 2 x + x 3 − 2 x 4

B(x) = 2 x 2 − x + 2

C(x) = 2 x 4 + 3 x 3 + x 2

D(x) = 2 x 4 − x 3 + 2 x + 3 , resuelvan:
A(x) + B(x) = ..................................................................................gr (A+B) = ........................