El problema del circulo que se contrae

Problema resuelto
(Miguel Angel Castillo)

En la figura se muestra un círculo fijo C 1 con ecuación x − 1 2  y 2  1 y un círculo C 2 con centro en el origen y
radio r que se está contrayendo. Pes el punto con coordenadas 0, r, Q es el punto en el primer cuadrante donde
se intersectan los círculos y R es el punto a, 0, en donde la recta que pasa por los puntos P y Q corta al eje x.
¿Quele sucede al punto R al contraerse C 2 , es decir, cuando r → 0  ?
2

P
Q

C2

1

-2

-1

1

2

3

R

4

C1

-1

-2

Solución
Primero encontremos las coordenadas del punto de interseccón de loscírculos en términos del radio del círculo
que se contrae r. Como la ecuación de éste círculo es x 2  y 2  r 2 se tiene que y 2  r 2 − x 2 . Despejando y 2 en la
ecuación del circulo C 1 se tiene y 2  1− 1 − x 2 . Ahora podemos igualar las ecuaciones y despejar x en
términos de r para obtener el punto de intersección
r 2 − x 2  1 − 1 − x 2
r 2 − x 2  1 − x 2  2x − 1
r 2  2x
2
x r
2

Ya hemosobtenido la coordenada x del punto de intersección. Para obtener el valor de y evaluamos en la
ecuación del círculo x 2  y 2  r 2 , obteniendo
y


r2 − x2
r −
2

r2
2

2



4r 2 − r 4 
4

r 2 4− r 2 
2



r 4 − r2
2

Por lo tanto, las coordenadas del punto Q, donde se intersectan los dos círculos son

2
r2 , r 4 − r
2
2

Ahora podemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por lospuntos P y Q. La pendiente de la recta es
1

y2 − y1
m  x −x
2
1



r 4 − r2
−r
r
r 4 − r 2 − 2r
2



r2
r2 − 0
2

4 − r2 − 2
r2

4 − r2 − 2
r

Usando la fórmula punto pendiente para encontrar laecuación de la recta se tiene
y − y 0  mx − x 0 
y−r 
y

4 − r2 − 2
x − 0
r
4 − r2 − 2
xr
r

Para encontrar el punto R donde la recta corta al eje x hacemos y  0 y despejamos x
4 − r2 − 2xr
r

0
4 − r2 − 2
x  −r
r

−r 2

x

4 − r2 − 2

Es decir que las coordenadas del punto R son
−r 2

a, 0 

4 − r2 − 2

,0

Finalmente, calculando el límite cuando r → 0  sabremos que le pasa...