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Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución

CAPÍTULO 4

Volumen de Sólidos de
Revolución

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Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución

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Volumen de sólidos de revolución
Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l , se
genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se
denomina eje de giro. En este capítulo seestudiará como determinar el volumen de
estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados.

4.1.- Cálculo del Volumen de Sólidos de Revolución mediante
el Método del Disco
Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma
del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde que el
volumen de un cilindro se calcula por lafórmula: V   r 2 h , donde r es el radio del
cilindro y h su altura.
Sea la región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, el
eje x , y las rectas verticales x  a y x  b como se muestra en la figura 4.1a, si
dicha región gira alrededor del eje x , se genera un sólido compacto como el que se
muestra en la figura 4.1b.
y

y
y=f(x)

b
f(w)=Rg

f(w)=Rg
a

wFigura 4.1a
Representación grafica de la región R

b

x

a

wi

b

x

Figura 4.1b
Representación gráfica del Sólido que se
forma cuando R gira alrededor del eje x

Sea un plano perpendicular al eje x , que corta al sólido de la figura 4.1b, la
intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto en
el eje x con abscisa wi , entonces el radiodel círculo formado se denomina radio de
y su longitud es f  wi  , y el área del círculo es   f  wi   . Se puede
deducir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de revolución,
usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para
calcular áreas en el capítulo 2.
giro

 Rg 

2

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nSea f continua y no negativa en  a, b . Sea

 f  w  x
i

i 1

una suma de Riemann,

i

 xi 1 , xi 

donde wi es un número arbitrario en el i-ésimo subintervalo

de una

partición P de  a, b . Ésta es una suma de áreas de rectángulos como los que se
muestran en la figura 4.2a. Al girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje x se
genera un cilindro rectangular rectode poca altura (disco), cuyo radio de la base es
f  wi  y su altura es xi . El volumen de este disco es   f  wi   xi . la suma de
todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que se
muestra en la figura 4.2b. y está dado por:
2

n

   f  wi   xi
2

i 1

y

y
y=f(x)
f(wi)
b

...
a

...
b
wi

b

x

a

Figura 4.2aRepresentación grafica de una suma
de Riemann para la región R

wi

b

x

Figura 4.2b
Representación grafica de una suma
de Riemann para la región R cuando
ésta gira alrededor del eje x

Esta es una suma de Riemann para   f  x   . A medida que P  0 , n   ,
entonces la suma de los volúmenes de los cilindros se acerca al volumen del sólido
formado cuando la función giraalrededor del eje de revolución representado en la
figura 3.1b. Por tanto, el volumen de un sólido de revolución se define como sigue:
2

Sea f continua en el intervalo cerrado

a, b , y sea

R la región acotada por la gráfica
de f , el eje x , y las rectas x  a y x  b . El volumen V del sólido de revolución
generado al girar R alrededor del eje x está dado por:
n

V  lim   f wi  xi     f  x  dx
a
n 
i 1

2

b

2

Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución

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A continuación se resuelve un ejercicio donde el sólido formado gira alrededor del
eje x formando un sólido compacto.
Ejemplo 4.1.
Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región
R   x, y  2  y  ln  x  ; x  1; x  e; y  0 gira...