El Trabajo Mejor Echo

COORDENADAS POLARES
Y REPRESENTACIONES PARAMETRICAS

Coordenadas polares de un punto

Véase P un punto en el plano con coordenadas cartesianas (x, y). Supongamos que P no es el origen O, por lo que la distancia r= x2+y2 de P a O es positiva. Entonces, (x/r2) + (y/r2) =1. Así, (x/r, y/r) son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia, y según la definición de la función seno ycoseno, hay un número θ tal que x/r=cos θ, y/r=sen θ. Esta θ solo es determinada hasta un múltiplo. Los números (r, θ) se llaman coordenadas polares de P. la relación entre coordenadas polares (r, θ) y coordenadas cartesianas (x, y) la dan las formulas:

X= r cos θ, y= r sen θ (1)
r=x2+y2 , cos θ= x/r, sen θ= y/r(2)
Las curvas constituidas por puntos con coordenadas cartesianas x= const. Y y= const. Son líneas paralelas a los ejes de coordenadas, forman una red rectangular. La “red” formada por curvas con coordenadas polares r= const. Y las curvas con coordenadas θ= const. Se representan en la siguiente figura. El radio θ= 0o se llama eje polar.

Esconveniente ampliar la definición y considerar cada par de números (r, θ) como las coordenadas polares del punto de punto con coordenadas cartesianas (x, y).

I.- si (r, θ) son coordenadas polares de P, también lo son (r, θ±2π);
II.- si (r, θ) son coordenadas polares de P, también lo son (-r, θ±π);
III.- para cada θ, los números (0, θ) son coordenadas polares del origen.

Ejemplos.-

Halle lascoordenadas polares para el punto con coordenadas cartesianas (3,4).
Respuesta.- use la ecuación (2) con x=3 y y=4. Entonces, r=(3)2 + (4)2 =25 = 5 y θ= tan arc 4/3= tan arc 1.333…≈530.

La fórmula de la distancia en coordenadas polares. Si dos puntos tienen coordenadas polares (r1, θ1) y (r2, θ2), la distancia d entre ellos es:

d=r12- 2r1 r2 cos (θ2-θ1) + r22 .

La ley de los cosenosen trigonometría. En un triángulo con vértices A, B, C, tenemos

c2= a2 + b2 – 2ab cos C.
Aquí como siempre, C designa la medida del ángulo ACB, c designa la longitud |AB|, etc.

Ecuaciones en coordenadas polares

Como las coordenadas cartesianas, las coordenadas polares pueden ser usadas para representar ecuaciones y funciones con figuras geométricas.

Ejemplo.-
* Halle laecuación en coordenadas polares, de una circunferencia con centro en el punto P [coordenadas polares: (r0, θ0)] y radio R.
Primera solución.- escribamos la condición: la distancia de un punto con coordenadas polares (r, θ) a P es R.
R2 – 2r0rcos (θ-θ0) + r02 –R2=0
Segunda solución.- las coordenadas cartesianas del centro son r0 cosθ0 y r0 senθ0 [por la ecuación (1)]. Por tanto la ecuación denuestra circunferencia en coordenadas cartesianas es:
(x – r0 cosθ0)2 + (y – r0 sen θ0)2= R2
Sean x= r cos θ, y= r sen θ y simplifique. Esto da la misma ecuación que antes.
* ¿Cuál es la ecuación, en coordenadas polares de una línea?
Solución.-
La ecuación general de una línea en coordenadas cartesianas es Ax +By + C=0
Usando (1), obtenemos la ecuación
r= (A cos θ + Bsen θ) + C=0 (4)

Curvas en coordenadas polares

Una curva puede ser definida por una función f tal que
r= f (θ), (5)
Donde r y θ son coordenadas polares de un punto de la curva. Las coordenadas cartesianas de este punto son:

x=f(θ) cos θ, y=f(θ) sen θ (6)
La relación (6) es un casoespecial de la llamada “representación paramétrica” de una curva. Las coordenadas cartesianas x Y y de un punto de la curva se dan en las funciones del “ángulo polar” θ.
El ejemplo más sencillo es la ecuación
r=1 (7)
Que define la circunferencia unidad. Para esta curva las relaciones (6) son
x= cos θ, y= sen θ. (8)...