Elaisa

Solución de campos del Tipo IV

Campos variables en el tiempo

1.- Ecuaciones diferenciales para potencial eléctrico y magnético variable en el tiempo Si los campos eléctrico y magnético varían en el tiempo, el conjunto de ecuaciones fundamentales esta dado por:   ∂B ∇xE = − ∂t
 ∇⋅D = ρ

   ∂D ∇xH = J + ∂t

 ∇⋅B = 0
 ∂ρ ∇⋅J = − ∂t

    D = ε0 E + P = ε E

   B = µ 0 (H + M ) = µH

    Luego, los campos E y B , H y D están acoplados, lo cual indica que en este caso la solución debe obtenerse simultáneamente para los campos eléctrico y magnético, esto es, para el campo electromagnético. Debido a este acoplamiento, como se verá posteriormente, resulta más fácil abordar la solución definiendo los potenciales eléctrico y magnético y planteando sus ecuacionesgenerales.

1.1 Definición de potenciales y ecuaciones diferenciales  Como: ∇⋅B = 0   y puesto que se cumple para un vector A : ∇ ⋅ ∇xA = 0   entonces podemos considerar que: B = ∇x A  siendo A : potencial magnético vector
 Del rotor de E :

  ∂ (∇xA) ∇xE = − ∂t

luego:

   ∂A  =0 ∇x  E +  ∂t   

Si el rotacional de un vector es nulo, el vector puede expresarse comoel gradiente de una función escalar:

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  ∂A = −∇φ E+ ∂t

φ : función potencial eléctrico escalar, diferente del caso estático pues es dependiente de t
Para obtener las ecuaciones diferenciales para los potenciales magnético vector y eléctrico escalar, se reemplaza en las dos ecuaciones fundamentales restantes:     ∂A  ∇ ⋅ εE = ∇ ⋅ ε  −  ∂t − ∇φ  = ρ   Luego:  ρ ∂A − ∇ 2φ =−∇⋅ ε ∂t
 ∂φ ∇ ⋅ A = − µε ∂t

Escogemos (condición de Lorentz): Entonces:

 ∂ ∂ 2φ (∇ ⋅ A) = − µε 2 ∂t ∂t que se reemplaza en la ecuación anterior. Además:       ∇xA   ∂  ∂A B    ∇xH = ∇x  = ∇x µ  µ  = J + ∂t ε  − ∂t − ∇φ        Luego:      ∂2 A ∂∇φ 2 − µε 2 ∇x∇xA = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = µJ − µε ∂t ∂t Y de la condición de Lorentz:  ∂ (∇φ ) ∇(∇ ⋅ A) = − µε ∂tReemplazando en la ecuación anterior, finalmente obtenemos las ecuaciones generales para el potencial magnético vector A y el potencial eléctrico escalar φ en el caso de campos variables en el tiempo:
   ∂2A = − µJ ∇ A − µε ∂t 2
2

∇ 2φ − µε

ρ ∂ 2φ =− 2 ε ∂t

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2.- Régimen Sinusoidal permanente 2.1 Representación fasorial para los campos alternos de frecuencia constante Si los campospresentan una variación sinusoidal en el tiempo con frecuencia angular constante, empleamos una transformación del espacio del tiempo al espacio complejo, y trabajamos con campos vector fasor:       E donde E (r , t ) = Re E e jωt

[ ]

Cada componente de cartesianas y polares:

  E es compleja; expresado el campo en coordenadas

  jφ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E (r ) = i Ex + ˆE y + kEz = i[Exr + jE xi ] + ˆ E yr + jE yi + k [Ezr + jE zi ] = i Ex e jφ x + ˆE y e y + kEz e jφ z j j j

[

]

en general puede darse una fase arbitraria para cada una de ellas. Esto es, por ejemplo, para la componente espacial Ex :

 2 2 E x (r , t ) = Re ( E xr + jE xi ) e jωt = Re E xr + E xi e jωt e jφx
 2 2 E x r , t = E xr + E xi cos(ωt + φ x )

[

]

[

]

( )

considerandoφx la fase de esta componente en su representación polar
jωt Como en toda operatoria con fasores, el factor e generalmente no se escribe, dándolo por subentendido. Es importante no confundir las componentes reales e imaginarias de las componentes espaciales del vector, con las propias componentes espaciales. Por ejemplo, Exr y Exi no son componentes espaciales, sino que definen el  ángulo de fasede la componente espacial E x . Esta posible diferencia de fase entre las distintas componentes espaciales de un fasor trae como consecuencia el problema de la determinación del valor máximo para un campo vector fasor.

  Consideremos solo dos componentes, E x y E y de un campo eléctrico alterno, para una posición (x0,y0) fija; con el fasor expresado en notación compleja:
 Ex = a + j...