Elasticidad Lineal
Páginas: 23 (5559 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2011
Elasticidad lineal
3.1. Coeficientes de elasticidad de un medio elástico
Los medios elásticos se caracterizan porque su ley constitutiva es del tipo: σ = σ(ε) (3.1)
La ecuación (3.1) es una generalización de la conocida ley de Hooke a forma tensorial. Esta relación entre los tensores de tensiones y deformaciones, se expresa de la forma siguiente: σi j = Ci jkl εkl (3.2)
En el capítulo 2se estableció que existe una configuración para el sólido llamada su estado natural o no deformado. Este estado es de equilibrio, puesto que la energía libre para esa configuración presenta un mínimo. Para ese estado: El tensor de fuerza es cero: σ = 0. El tensor de deformación es cero: ε = 0. y en la relación (3.1) se añade una condición: σ(0) = 0 Un sólido elástico estará deformado cuando tengauna configuración distinta a la de su estado natural 1 . Desde el punto de vista de las ecuaciones, que en el estado natural no haya tensiones, se traduce en que la ley de comportamiento no tiene término independiente.
3.2. Medio elástico lineal, homogéneo e isótropo
En lo que sigue, se va a estudiar el medio elástico lineal homogéneo e isótropo, que es el modelo más simple de sólido elástico. Eneste caso, su ley de comportamiento, o su ecuación constitutiva tiene la forma: σi j = Ci jkl εkl = λεkk δi j + 2µεi j (3.3)
deformaciones se miden entre distintas configuraciones del m.c.d., por esto hay que tomar un estado de referencia, este será el estado natural.
1 Las
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60
CAPÍTULO 3. ELASTICIDAD LINEAL
pues en el caso isótropo, de todos los elementos del tensor Ci jkl , sólodos son independientes. Estos dos términos se denotan por λ y µ y se les denomina módulos de Lamé, coeficientes de Lamé o módulos elásticos. Aunque se considerará a λ y µ como constantes, éstos en general son función de la presión y de la temperatura: λ, µ = f (p, T. . . . ).
3.3. Significado físico de los módulos elásticos
εdj : i Si el tensor de deformaciones se descompone en su parteesférica ε li j y en su parte tensor desviador εi j = εil j + εdj i
1 puesto que εli j = 1 εi j δi j y εdj = εi j − 3 εi j δi j donde εkk es la traza del tensor de deformaciones. i 3
1 1 εi j = εkk δi j + (εi j − εkk δi j ) 3 3 y si se substituye en (3.2) 1 2 σi j = (λδi j εkk + 2µ(εi j − δi j εkk ) + µδi j εkk ) 3 3 2 1 σi j = (λ + µ)δi j εkk + 2µ(εi j − δi j εkk ) 3 3 El primer sumando de (3.4) debeser la parte esférica del tensor de tensiones 2 (λ + µ)εkk δi j 3 y será no nulo en aquellas deformaciones con variación de volumen. El segundo sumando de (3.4) se corresponderá con la parte desviador 1 2µ(εi j − εkk δi j ) 3 y necesariamente será no nulo en deformaciones sin variación de volumen. Para ver el significado de los coeficientes de Lamé, o definir otros módulos 2 , se analizará larespuesta del medio elástico (como se deforma) bajo distintos tipos de solicitación. En primer lugar se buscará una expresión donde las variables dependientes sean las deformaciones. Si en (3.4) se toma la traza (se contraen los índices i j) σii = (3λ + 2µ)εkk y se despeja la traza del tensor de tensiones: εkk =
2 Recordar
(3.4)
σii (3λ + 2µ)
que estos módulos se construirán, directa oindirectamente, a partir de los coeficientes de Lamé, pues el sólido elástico homogéneo e isótropo, sólo dos elementos del segundo tensor elástico son independientes.
3.3. SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS MÓDULOS ELÁSTICOS
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X
σ
σ
Figura 3.1: Una barra delgada de material elástico se somete a tracción uniaxial.
se puede hacer uso de (3.4) y reagrupar: 2 2µ σi j − (λ + µ)δi j εkk = 2µεi j −δi j εkk 3 3 σi j − λδi j εkk = 2µεi j εi j = 1 (σi j − λδi j εkk ) 2µ
e incorporar la traza del tensor de deformaciones ε kk : εi j = 1 λ σi j − δi j σkk 2µ 2µ(3λ + 2µ) (3.5)
3.3.1. tracción uniaxial
Un medio elástico se somete a tensión dirigida a esfuerzos tiene la forma: σ 0 σ= 0 0 0 0 lo largo de un eje. En este caso, el tensor de 0 0 0
El único término del tensor de...
3.1. Coeficientes de elasticidad de un medio elástico
Los medios elásticos se caracterizan porque su ley constitutiva es del tipo: σ = σ(ε) (3.1)
La ecuación (3.1) es una generalización de la conocida ley de Hooke a forma tensorial. Esta relación entre los tensores de tensiones y deformaciones, se expresa de la forma siguiente: σi j = Ci jkl εkl (3.2)
En el capítulo 2se estableció que existe una configuración para el sólido llamada su estado natural o no deformado. Este estado es de equilibrio, puesto que la energía libre para esa configuración presenta un mínimo. Para ese estado: El tensor de fuerza es cero: σ = 0. El tensor de deformación es cero: ε = 0. y en la relación (3.1) se añade una condición: σ(0) = 0 Un sólido elástico estará deformado cuando tengauna configuración distinta a la de su estado natural 1 . Desde el punto de vista de las ecuaciones, que en el estado natural no haya tensiones, se traduce en que la ley de comportamiento no tiene término independiente.
3.2. Medio elástico lineal, homogéneo e isótropo
En lo que sigue, se va a estudiar el medio elástico lineal homogéneo e isótropo, que es el modelo más simple de sólido elástico. Eneste caso, su ley de comportamiento, o su ecuación constitutiva tiene la forma: σi j = Ci jkl εkl = λεkk δi j + 2µεi j (3.3)
deformaciones se miden entre distintas configuraciones del m.c.d., por esto hay que tomar un estado de referencia, este será el estado natural.
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CAPÍTULO 3. ELASTICIDAD LINEAL
pues en el caso isótropo, de todos los elementos del tensor Ci jkl , sólodos son independientes. Estos dos términos se denotan por λ y µ y se les denomina módulos de Lamé, coeficientes de Lamé o módulos elásticos. Aunque se considerará a λ y µ como constantes, éstos en general son función de la presión y de la temperatura: λ, µ = f (p, T. . . . ).
3.3. Significado físico de los módulos elásticos
εdj : i Si el tensor de deformaciones se descompone en su parteesférica ε li j y en su parte tensor desviador εi j = εil j + εdj i
1 puesto que εli j = 1 εi j δi j y εdj = εi j − 3 εi j δi j donde εkk es la traza del tensor de deformaciones. i 3
1 1 εi j = εkk δi j + (εi j − εkk δi j ) 3 3 y si se substituye en (3.2) 1 2 σi j = (λδi j εkk + 2µ(εi j − δi j εkk ) + µδi j εkk ) 3 3 2 1 σi j = (λ + µ)δi j εkk + 2µ(εi j − δi j εkk ) 3 3 El primer sumando de (3.4) debeser la parte esférica del tensor de tensiones 2 (λ + µ)εkk δi j 3 y será no nulo en aquellas deformaciones con variación de volumen. El segundo sumando de (3.4) se corresponderá con la parte desviador 1 2µ(εi j − εkk δi j ) 3 y necesariamente será no nulo en deformaciones sin variación de volumen. Para ver el significado de los coeficientes de Lamé, o definir otros módulos 2 , se analizará larespuesta del medio elástico (como se deforma) bajo distintos tipos de solicitación. En primer lugar se buscará una expresión donde las variables dependientes sean las deformaciones. Si en (3.4) se toma la traza (se contraen los índices i j) σii = (3λ + 2µ)εkk y se despeja la traza del tensor de tensiones: εkk =
2 Recordar
(3.4)
σii (3λ + 2µ)
que estos módulos se construirán, directa oindirectamente, a partir de los coeficientes de Lamé, pues el sólido elástico homogéneo e isótropo, sólo dos elementos del segundo tensor elástico son independientes.
3.3. SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS MÓDULOS ELÁSTICOS
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Figura 3.1: Una barra delgada de material elástico se somete a tracción uniaxial.
se puede hacer uso de (3.4) y reagrupar: 2 2µ σi j − (λ + µ)δi j εkk = 2µεi j −δi j εkk 3 3 σi j − λδi j εkk = 2µεi j εi j = 1 (σi j − λδi j εkk ) 2µ
e incorporar la traza del tensor de deformaciones ε kk : εi j = 1 λ σi j − δi j σkk 2µ 2µ(3λ + 2µ) (3.5)
3.3.1. tracción uniaxial
Un medio elástico se somete a tensión dirigida a esfuerzos tiene la forma: σ 0 σ= 0 0 0 0 lo largo de un eje. En este caso, el tensor de 0 0 0
El único término del tensor de...
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