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Lugar de raíces

En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.
El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para undeterminado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro delcírculo unitario del plano z (para sistemas discretos).)

Definición
Sea G(s)H(s) la función de transferencia del sistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica
1 + kG(s)H(s) = 0
Para el caso en que , no se trata entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del lugar de raíces complementario. Una solución de laecuación para un valor de k dado se llama lugar de la raíz.

Propiedades
El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real.
Comienza en k = 0 en los polos pi de la transferencia a lazo abierto G(s)H(s), y termina para , normalmente con valor nulo. Las soluciones para corresponden al lugar de raíces verdadero, mientras que las soluciones para k < 0 corresponden al lugar de raícescomplementario.
Reglas para graficar el lugar de raíces
Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación característica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.
Las siguientes reglas permiten graficar el lugar deraíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar.
En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto.
1. Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de laecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
2. Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.
3. Polos de lazo abierto. Los polos de la función detransferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = 0.
4. Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito.
5. Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos másque ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre ellas un ángulo de, donde. El lugar de raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que k tiene a infinito.
6. Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante σ0, y se calcula mediante, donde t = n − m,siendo n la cantidad de polos y m la cantidad de ceros.
7. Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.
8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares,...
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