Electronica

TRANSFORMADA DE LAPLACE

APUNTE 3

Elaborado por Marina Salamé S.

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1.TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.1 Introducción.
Muchos tipos de problemas que surgen en el campo de las ciencias exigen un cálculo complicado. Algunos de estos problemas se pueden hacer más operativos mediante las transformadas de Laplace. Con el método de la transformada de Laplace se resuelven ecuacionesdiferenciales y problemas con valor inicial. La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.

Comportamiento descrito mediante una ecuación diferencial
Dominio del tiempo

Transformación de Laplace

Manipulación algebraica de las ecuaciones
Dominio de s

Solución en función del tiempo. Transformacióninversa de Laplace
Dominio del tiempo

El matemático francés Pierre Simón Laplace (1749-1827) descubrió una forma de resolver ecuaciones diferenciales, multiplicando cada término de la ecuación por e − st y, así, integrando cada uno de los términos respecto al tiempo desde cero hasta infinito; donde s es una constante con unidades de 1/ tiempo. Este resultado es lo que se conoce como la transformadade Laplace.

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1.2 Transformada de Laplace.
Definición 1 (Transformada de Laplace) Sea f(t) una función de t definida para t > 0. La transformada de Laplace de f(t), denotada por L {f(t)} , se define como
L {f(t)} = e− s t f(t) dt = F(s)
0 ∞

∫

Se dice que la transformada de Laplace existe cuando la integral converge para algún valor des; de otra manera, se dice que no existe. Ejemplo 1: Obtener la transformada para la función escalón unitario. Esta función se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo, el cambio de voltaje aplicado a un circuito cuando este se enciende de manera súbita.El gráfico muestra la forma que toma una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t = 0 y la
⎧ 1 ⎪ magnitud del escalón es la unidad. La función es f(t) = ⎨ ⎪ 0 ⎩
f(t)

t>0 t 0 s

Podemos concluir que la transformada es:
L {1} = 1 s

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Ejemplo 2: Supongamos ahora que en lugar de una señal de entradaescalón de altura una unidad se tiene uno de altura c unidades. Entonces, para todos los valores de t mayores que 0 se tiene, f(t) = c. Obtener la transformada de esta función. Es decir calcular  L { c } número real.

,

c es un

Solución :
L {c} = e− s t c dt
0 ∞

∫

= lim c
b→∞

∫e
0

b

−s t

dt

− e−s t = lim c b→∞ s

b

0

= lim c
b→∞

− e− sb + 1 s

=

c spara s > 0

Podemos concluir que la transformada de una constante es:
L{c} = c s

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Ejemplo 3:

Obtener la transformada de Laplace para la función rampa de pendiente unitaria, f(t) = t .

Solución :
L {t} = e− s t t dt
0 ∞

∫

= lim

b→∞

∫te
0

b

−s t

dt

usando integración por partes:

⎡ t = lim ⎢ − e− s t b→∞⎢ s ⎣ ⎡ t = lim ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣

b

+
0

b ⎤ 1 e− s t dt ⎥ s ⎥ 0 ⎦

∫

b

−
0

1 s2

e

−s t

b⎤ 0⎥ ⎦

⎥

1 ⎡ t ⎤ = lim ⎢ − e− s t − 2 e− s t ⎥ b→∞ ⎣ s s ⎦ ⎡ = lim ⎢ b→∞ ⎣

b 0

⎛ b − sb 1 − sb ⎞ ⎛ 0 − s⋅ 0 1 − s⋅ 0 ⎞ ⎤ − 2e − 2e ⎜− s e ⎟ −⎜− s e ⎟⎥ s s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

⎡ b 1 1⎤ = lim ⎢ − sb − sb + 2 ⎥ b→∞ ⎢ s e se s ⎥ ⎣ ⎦ b se
sb 0

= lim −
b→∞

− lim

1 se
sb0

b→∞

+

b→∞

lim

1 s2

L {t} =

1 s2

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Ejemplo 4: Obtener  L t 2 Solución :

{ }

L {t } = e− s t t 2 dt
2 0

∞

∫

= lim

b→∞

∫t
0

b

2

e− s t dt

Usando integración por partes:

⎡ 2 t = lim ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣ ⎡ 2 t = lim ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣ ⎡ 2 t = lim ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣

b

0 b...