Electronica

ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
INTRODUCCIÓN

9

En el capítulo 7 se presentó una estrategia para el análisis de la respuesta dinámica de un sistema en el dominio del tiempo discreto, basada en la solución completa de la ecuación en diferencias (EED) ante una entrada arbitraria. Sin embargo, su solución puede complicarse para cierto tipo de entrada. En elcapítulo 8 se desarrolló un método de transformación que facilitó la evaluación de la respuesta del sistema, utilizando como herramienta la transformada Z. En los dos casos, la evaluación del comportamiento dinámico del sistema está supeditada al uso de prototipos de primero o segundo orden y al conocimiento de la entrada del sistema, reconocida como la señal de prueba. En este capítulo se presentaránlos métodos clásicos para el análisis de un sistema discreto en el dominio de la frecuencia digital, similar al tratamiento que se dio a los sistemas continuos en el capítulo 4. La principal característica de estos métodos, es que pueden aplicarse a cualquier orden del sistema y no se requiere la utilización de señales de prueba. Se hará referencia al concepto de respuesta de frecuencia (RDF) quepermite inferir sobre el comportamiento dinámico del sistema en tiempo discreto, desde el dominio de la frecuencia digital. Similar al tratamiento que se dio en el capítulo 4 al sistema continuo, la RDF se desarrollará a partir de la función de transferencia discreta (FTD). Con base en lo anterior se desarrollará la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD), como una herramienta para elanálisis de una señal discreta en el dominio de la frecuencia digital. Para comprender la relación que existe entre la transformada de Fourier en tiempo continuo (TFTC) y su análoga en el dominio discreto (TFTD), será necesario revisar el proceso de muestreo y reconstrucción de una señal continua, que será considerado en el capítulo 10.

9.1 DOMINIO DEL TIEMPO DISCRETO v/s DOMINIO-Ω
En esta secciónse demostrará que es posible representar una señal armónica x[ n] definida en el dominio del tiempo discreto, en términos de sus valores característicos: frecuencia fundamental, amplitud y fase. Esta representación es el principio de la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD). De modo similar, si un sistema discreto se modela a través de su respuesta impulso: h[ n] , un tratamientosimilar permitirá desarrollar su respuesta de frecuencia (RDF) para evaluar su comportamiento dinámico en el dominio de la frecuencia digital.

9-1

9-2

Capítulo 9 – ANALISIS DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Respuesta de un sistema discreto LIT a una señal armónica Si un sistema discreto LIT modelado por su respuesta impulso h[ n] es sometido a una señal armónica x[ n] =Ae j ( n Ω 0 +θ ) , donde A es la amplitud, Ω0 la frecuencia fundamental en radianes y θ la fase en radianes, aplicando convolución lineal, su respuesta forzada es:

y[ n ] =

k =−∞

∑

∞

h[ k] x[ n − k] =

⎡ ∞ ⎤ h[ k] Ae j [( n− k )Ω 0 +θ ) = ⎢ ∑ h[ k] e− j kΩ 0 ⎥ Ae j ( n Ω 0 +θ ) ∑ ⎣ k=−∞ ⎦ k =−∞
∞

(9.1)

El segundo factor en (9.1) es la señal de entrada y el término entrecorchetes es una expresión compleja que solo depende de la frecuencia digital Ω0 y puede expresarse como

H ( e jΩ 0 ) =

k =−∞

∑ h[ k] e

∞

− j kΩ 0

(9.2)

Sustituyendo (9.2) en (9.1) la respuesta forzada del sistema discreto es

y[ n] = H ( e j Ω 0 ) × x[ n]

(9.3)

Este resultado es similar al que se obtuvo en la sección 8.1 cuando se evaluó la respuesta de un sistema LIT auna entrada exponencial compleja, si en la ecuación (8.2) sustituimos z = e j Ω 0 . Lo anterior permite reconocer que la respuesta forzada a una entrada armónica, también es armónica y solo se ve afectada por el factor de escalamiento complejo H ( e j Ω 0 ) , que modifica su amplitud y fase. La expresión (9.2) puede calcularse como:

H ( e j Ω 0 ) = H ( z) z = e j Ω 0

(9.4)

donde H (...