Elementos Dimensionales

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos . Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio en los contenidos de la matemática.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida dela hipotenusa es , se formula que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:



1) Un triángulo rectangulo tiene catetos 7 y 9 respectivamente, Calcular la hipotenusa. 

c es la hipotenusa 

c² = 7² + 9² 
c² = 49 +81 
c = √(130) 
c=11.4018 

2) Un triángulo rectángulo que también es isosceles tiene una hipotenusa de 14 cm calcular la medida desus catetos.


como es un triángulo isosceles entonces tiene dos catetos iguales, por lo tanto: 

a² + a² = 14² 
2a² = 196 

a² = 196/2 

a= √(98) 

a= 9.86 


cada uno de los catetos mide 9.86 


3) Se tiene un triángulo equilatero de 10 cm por lado calcular su área. 

fórmula del triangulo bxh/2 


la base es 10 
la altura es B² = 10² - (10/2)² ---------(B es un cateto) 


C² = 100 -25 

C=√(75) 

C= 8.66 


entonces la fórmula del Área queda: 

bXH/2 

(10)(8.66)/ 2 

43.3 

el Área es 43.3 cm 



4) Los lados de un triángulo rectángulo estan dados por: x, x-2, x+2; Obtener la medida de cada lado. 


el teorema dice: C² = A² + B² 

entones sustituimos: 

C² = (x+2)² 
A² = (x)² 
B² = (x-2)² 

(x)² + (x-2)² = (x+2)² 


desarrollamos los binomios al cuadrado: 


x² + x² -4x +4 = x² + 4x+4 
x² - 8x = 0 

factorizamos y buscamos sus 2 raíces: 

x² - 8x = (x-8)(x) 

x1 = 8 y x2 = 0 


entonces las medidas son: 

X = 8 
x+2 = 10 
x-2 = 6 



5) Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y su hipotenusa mide 2cm mas que su otro cateto, Calcular la medida de cada lado. 

8² + x² = (2+x)² 

64 + x² = 4 +4x + x² 

60 = 4x 

x= 60/4 

x= 15 

un cateto = 15cm 
el otro catetoconocido es de 8cm 
y la hipotenusa es de 17 
si te dicen que un triangulo tiene dos lados, uno de 7 cm y otro de 9 cm buscar la hipotenusa , entonces decimos 

a = 7 
b= 9 
c=? 

c² = a² + b² 

c² = 7² + 9² 

c² = 49 + 81 

c² = 130 

c = √130 

c= 11.41 

quiere decir que la hipotenusa es 11.41 

Ejemplo 2 

te dicen: 

un triangulo tienen uan hipotenusa de 20 m y un lado de 8 m calcular el otrolado 

c= 20 

llamemos a al lado 

a = 8 

b²=c² - a ² 

b² = 20² - 8² 

b² = 400 - 64 

b² = 336 

b = √336 

b= 18.33 
Ley de seno - definición 
La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.  En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos.  La ley del Seno y la del cosenoson muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo rectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica. 

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).
Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
       
       El tercer ángulo del triángulo es
              C = 180° – A – B = 180° – 30° –20 ° = 130°
        Por la ley de los senos,
              
       Por las propiedades de las proporciones
              
Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).
Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
       
       El tercer ángulo del triángulo es:
              C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
       Por la ley de los senos,              
       Por las propiedades de las proporciones
               y 
El caso ambiguo
Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.
            (1) No existe tal triángulo.
            (2) Dos triángulos diferentes existen.
            (3) Exactamente un triángulo existe.
Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A. (La altitud h del...