elementos finitos

CURSO BÁSICO
DE
ELEMENTOS FINITOS

Prof. Dr. Ing. Mario Durán L.

Versión Marzo 2011

Apuntes de Elementos Finitos

Prof. Dr. Ing. Mario Durán L

1.- Teoría de Elasticidad del continuo tridimensional

1.1.- Introducción
Sea un cuerpo cualquiera sometido a la acción de cargas y desplazamientos

Figura 1.1.- Cuerpo sólido tridimensional

Las solicitaciones a las que estásometido el cuerpo pueden ser fuerzas o desplazamientos.
En el caso de las fuerzas, existen 2 tipos de solicitaciones:
-

-

Fuerzas (T) por unidad de superficie aplicadas en una parte (SF) de la superficie del
cuerpo
Fuerzas (Rx, R y, Rz) por unidad de volumen, aplicadas al interior del cuerpo, por
ejemplo peso propio, fuerzas de inercia, etc.

En el caso de los desplazamientos, estos sonconocidos en una parte de la superficie (Su) del
cuerpo. Estos desplazamientos pueden ser cero (apoyos fijos) o distinto de cero, en cuyo
caso se habla de desplazamientos forzados, p.ej. asentamientos.
La superficie total del (S) cuerpo será:
S = SF + S u

(1.1)

El objetivo básico del análisis es determinar el estado de tensiones en cualquier punto del
cuerpo y eventualmente losdesplazamientos de dichos puntos.

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1.1 Ecuaciones de equilibrio

Fig. 1.2.- Tensiones en un sólido
Haciendo equilibrio de fuerzas en dirección x (ver Fig. 1.2) se tiene
 xy
 xx

dxdydz 
dydxdz  xz dzdxdy  Rx dxdydz  0
x
y
z
eliminando d xd ydz se obtiene
 xx  xy  xz


 Rx  0
x
y
z
aná logamente :
 yx
x



 yy
y
 zy



 yz
z

 Ry  0

(1.2)

 zx
 zz


 Rz  0
x
y
z

(1.2) representan las ecuaciones de equilibrio que deben cumplirse en todos los puntos del
cuerpo. Por simetría se cumple que τij= τ ji (i,j=x,y,z), por lo que en cada punto existen 6
tensiones incógnitas: 3 tensiones normales σii (i=x,y,z) y 3 tensiones tangencialesτij
(i,j=x,y,z) con i≠j.
Por otra parte en la superficie SF del cuerpo, las tensiones τij deben estar en equilibrio con
las fuerzas T por unidad de superficie aplicadas.

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En la Fig. 1.3 se muestra una superficie infinitesimal de normal No donde se aplica la fuerza
por unidad de superficie T cuyas componentes son Tx, Ty y TzFig.1.3.- Equilibrio en la superficie
Si las componentes de la normal No son nx, n y y nz se tiene que:
nx xx  n y xy  nz xz  Tx
nx yx  n y yy  nz yz  Ty

(1.3)

nx zx  n y zy  nz zz  Tz

1.3 Desplazamientos y deformaciones
Debido a las acciones de las cargas el cuerpo se deforma, de manera que la posición
relativa de los puntos cambia.
Si denominamos u, v y w a losdesplazamientos de un punto cualquiera P(x,y,z) en las
direcciones x,y y z respectivamente, podemos calcular las deformaciones infinitesimales
que sufre el punto P con las siguientes relaciones:

u
x

 yy 

v
y

u v

  yx
y x

 yz 

v w

  zy
z y

 xx 

 zz 

w
z

(1.4)

y

 xy 

 zx 

w u

  xz
x z

(1.5)

Lasdeformaciones (1.4) corresponden a deformaciones normales que implican un cambio
de volumen, mientras que las deformaciones (1.5) corresponden a distorsiones angulares.
En la Figura 1.3 se observan las diferencias entre ambos tipos de deformaciones en un caso
plano

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Fig. 1.4.- Deformaciones de un elemento infinitesimal
Dela Fig. 1.4 se observa que

u
corresponde a la deformación unitaria del lado AB,
x

v
corresponde a la deformación unitaria del lado AD.
y
u
v
Por otra parte se observa que el ángulo  1 
mientras que  2 
. Por lo tanto
y
x
u v

  1   2 corresponde a la distorsión angular total del lado A’B’ c/r al lado A’D’.
y x
mientras que

1.4 Relaciones tensión –...