Elementos Finitos
Páginas: 10 (2447 palabras)
Publicado: 17 de diciembre de 2012
Formulación Variacional para Problemas de Valor de Frontera
Desde un punto de vista matemático, el MEF (Método de los elementos finitos) es una técnica general para construir soluciones aproximadas de problemas de valor de frontera
(PVF). El método implica dividir el dominio de la solución en un número finito de subdominios simples, los elementos finitos, y usando conceptos variacionales seconstruye una aproximación de la solución sobre la colección de elementos finitos.
El método variacional constituye una herramienta fundamental para el estudio cualitativo de ecuaciones diferenciales parciales y el eje fundamental del MEF. Por esto, el objetivo esencial del capítulo consiste en definir la formulación variacional o forma débil de algunos PVF de tipo elíptico y estudiar el buenplanteamiento de esta formulación variacional.
Debido a la simplicidad técnica que presentan los problemas unidimensionales, resulta apropiado presentar en estos las ideas fundamentales que involucran este tema. Con este fin, se limita nuestra atención por el momento a lo más simple, un PVF en una dimensión (problema de frontera en dos puntos) caracterizado por una ecuación diferencial ordinaria.(EDO) de segundo orden, junto a un par de condiciones de frontera. Se hará referencia a este ejemplo como nuestro problema modelo. Aunque el problema modelo no represente ninguna dificultad ni mucho interés práctico, tanto su estructura matemática y su enfoque en la formulación de su aproximación son esencialmente las mismas que en los problemas más complejos.
Problema modelo unidimensionalSe considera el problema de encontrar una función u = u(x), 0 ≤ x ≤ 1, la cual satisface la siguiente EDO y condiciones de frontera:
C) -u”(x) + u = f(x), para 0 < x < 1;
u(0) = u(1) = 0
Donde f es una función conocida y suficientemente suave (continua). Un problema de este tipo puede surgir como modelo, en particular, en el estudio de la vibración de una barra elástica, unacuerda elástica o en la distribución de temperatura en una barra. Los datos del problema consisten en: el dominio de la solución (en este caso, el dominio es simplemente el intervalo unitario 0 ≤x ≤ 1), la parte no homogénea de la ecuación diferencial (representada por la función f(x)), los coeficientes de las derivadas de u (las constantes -1 y 1) y los valores de frontera que demanda la soluciónobtenida (en este problema, u = 0 en x = 0 y x = 1). El problema modelo planteado en c (ecuación diferencial junto a las condiciones de frontera) recibe el nombre de forma fuerte o clásica del problema, porque impone las condiciones más exigentes a la función que se trata de obtener, en cuanto al orden de derivabilidad, cumplimiento de la ecuación y condiciones de frontera punto a punto dentro deldominio de cálculo.
Los datos del problema modelo son suaves, como consecuencia de esta suavidad, existe una única función u la cual satisface el problema en todo punto del dominio. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, una o varias de estas características apropiadas del problema fallan o bien, no existe una solución a la declaración clásica del problema debido a que alguno de losdatos no son suaves, o si una solución suave existe, esta no puede ser encontrada en el sentido usual debido a la complejidad del dominio, los coeficientes, y las condiciones de frontera. Como ejemplo a este tipo de dificultad, se considera en lugar de f(x) (suave) en (C), el problema.
(2.1) -u”(x) + u = ±(x - 1/2); 0 < x < 1; u (0) = u (1) = 0
Donde ±(x – 1/2) es el delta de Dirac2 (unimpulso unitario o fuerza puntual concentrada en x = 1/2). Resulta así, que cualquier función u que satisfaga (2.1) debe tener una
discontinuidad en su primera derivada u’ en x = 1/2; su segunda derivada u” no existe en x = 1/2 (en un sentido tradicional) (ver Ejercicios 2.1 y 2.2). ¡Algo parece estar mal! ¿Cómo puede una función u satisfacer (2.1) en todo el intervalo 0 < x < 1 cuando su...
Desde un punto de vista matemático, el MEF (Método de los elementos finitos) es una técnica general para construir soluciones aproximadas de problemas de valor de frontera
(PVF). El método implica dividir el dominio de la solución en un número finito de subdominios simples, los elementos finitos, y usando conceptos variacionales seconstruye una aproximación de la solución sobre la colección de elementos finitos.
El método variacional constituye una herramienta fundamental para el estudio cualitativo de ecuaciones diferenciales parciales y el eje fundamental del MEF. Por esto, el objetivo esencial del capítulo consiste en definir la formulación variacional o forma débil de algunos PVF de tipo elíptico y estudiar el buenplanteamiento de esta formulación variacional.
Debido a la simplicidad técnica que presentan los problemas unidimensionales, resulta apropiado presentar en estos las ideas fundamentales que involucran este tema. Con este fin, se limita nuestra atención por el momento a lo más simple, un PVF en una dimensión (problema de frontera en dos puntos) caracterizado por una ecuación diferencial ordinaria.(EDO) de segundo orden, junto a un par de condiciones de frontera. Se hará referencia a este ejemplo como nuestro problema modelo. Aunque el problema modelo no represente ninguna dificultad ni mucho interés práctico, tanto su estructura matemática y su enfoque en la formulación de su aproximación son esencialmente las mismas que en los problemas más complejos.
Problema modelo unidimensionalSe considera el problema de encontrar una función u = u(x), 0 ≤ x ≤ 1, la cual satisface la siguiente EDO y condiciones de frontera:
C) -u”(x) + u = f(x), para 0 < x < 1;
u(0) = u(1) = 0
Donde f es una función conocida y suficientemente suave (continua). Un problema de este tipo puede surgir como modelo, en particular, en el estudio de la vibración de una barra elástica, unacuerda elástica o en la distribución de temperatura en una barra. Los datos del problema consisten en: el dominio de la solución (en este caso, el dominio es simplemente el intervalo unitario 0 ≤x ≤ 1), la parte no homogénea de la ecuación diferencial (representada por la función f(x)), los coeficientes de las derivadas de u (las constantes -1 y 1) y los valores de frontera que demanda la soluciónobtenida (en este problema, u = 0 en x = 0 y x = 1). El problema modelo planteado en c (ecuación diferencial junto a las condiciones de frontera) recibe el nombre de forma fuerte o clásica del problema, porque impone las condiciones más exigentes a la función que se trata de obtener, en cuanto al orden de derivabilidad, cumplimiento de la ecuación y condiciones de frontera punto a punto dentro deldominio de cálculo.
Los datos del problema modelo son suaves, como consecuencia de esta suavidad, existe una única función u la cual satisface el problema en todo punto del dominio. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, una o varias de estas características apropiadas del problema fallan o bien, no existe una solución a la declaración clásica del problema debido a que alguno de losdatos no son suaves, o si una solución suave existe, esta no puede ser encontrada en el sentido usual debido a la complejidad del dominio, los coeficientes, y las condiciones de frontera. Como ejemplo a este tipo de dificultad, se considera en lugar de f(x) (suave) en (C), el problema.
(2.1) -u”(x) + u = ±(x - 1/2); 0 < x < 1; u (0) = u (1) = 0
Donde ±(x – 1/2) es el delta de Dirac2 (unimpulso unitario o fuerza puntual concentrada en x = 1/2). Resulta así, que cualquier función u que satisfaga (2.1) debe tener una
discontinuidad en su primera derivada u’ en x = 1/2; su segunda derivada u” no existe en x = 1/2 (en un sentido tradicional) (ver Ejercicios 2.1 y 2.2). ¡Algo parece estar mal! ¿Cómo puede una función u satisfacer (2.1) en todo el intervalo 0 < x < 1 cuando su...
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